Quali sono i fattori per 6y ^ 2 - 5y ^ 3 - 4?

Risposta:

# 6y ^ 2-5y ^ 3-4 = -5 (y-y_1) (y-y_2) (y-y_3) #

# y_1 = 1 / (u_1 + v_1) #

# y_2 = 1 / (omega u_1 + omega ^ 2 v_1) #

# y_3 = 1 / (omega ^ 2 u_1 + omega v_1) #

come spiegato di seguito …

Spiegazione:

Tentativo di risolvere #f (y) = -5y ^ 3 + 6y ^ 2-4 = 0 #

Prima dividi # -Y ^ 3 # ottenere:

# 5-6 / y + 4 / y ^ 3 = 0 #

Permettere #x = 1 / y #

Poi # 4x ^ 3-6x + 5 = 0 #

Adesso molla #x = u + v #

# 0 = 4 (u + v) ^ 3 - 6 (u + v) + 5 #

# = 4u ^ 3 + 4v ^ 3 + (12uv-6) (u + v) + 5 #

# = 4u ^ 3 + 4v ^ 3 + 6 (2uv-1) (u + v) + 5 #

Permettere #v = 1 / (2u) #

# = 4u ^ 3 + 1 / (2U ^ 3) + 5 #

Moltiplicare attraverso # 2U ^ 3 # ottenere:

# 8 (u ^ 3) ^ 2 + 10 (u ^ 3) +1 = 0 #

# u ^ 3 = (-10 + -sqrt (100-32)) / 16 #

# = (- 10 + -sqrt (68)) / 16 #

# = (- 5 + -sqrt (17)) / 8 #

Scrivi:

# u_1 = root (3) ((- 5 + sqrt (17)) / 8) #

# v_1 = root (3) ((- 5-sqrt (17)) / 8) #

Quindi vera radice di # 4x ^ 3-6x + 5 = 0 # è

#x = u_1 + v_1 #

Le altre due (complesse) radici sono:

#x = omega u_1 + omega ^ 2 v_1 #

#x = omega ^ 2 u_1 + omega v_1 #

dove #omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2i #

#y = 1 / x #

Quindi la vera radice di #f (y) = 0 # è # y_1 = 1 / (u_1 + v_1) #

e le radici complesse sono:

# y_2 = 1 / (omega u_1 + omega ^ 2 v_1) #

# y_3 = 1 / (omega ^ 2 u_1 + omega v_1) #

#f (y) = -5 (y - y_1) (y - y_2) (y - y_3) #