Dimostra: 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x)?

Provare # 3cos ^ -1X = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Permettere # cos ^ -1x = theta #

# => X = costheta #

Adesso # LHS = 3theta #

# = Cos ^ -1cos (3theta) #

# = Cos ^ -1 (4cos ^ 3theta-3costheta) #

# = Cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Mostrare

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 -3 x) #

A volte trig è meno sul fare matematica e più sul riconoscere la matematica quando la vediamo. Qui riconosciamo # 4x ^ 3 -3x # come la formula dell'angolo triplo coseno, # cos (3 theta) # quando # x = cos theta #.

factoid: # 4x ^ 3-3x # è anche chiamato # T_3 (x) #, il terzo polinomio di Chebyshev del primo tipo. In generale, # cos (nx) = T_n (cos x). #

Assumeremo # # ARccOS si riferisce al valore principale. Preferisco chiamare il preside #text {Arc} {text cos} # ma è più difficile da digitare.

Basta sfondo Una volta riconosciuta la formula dell'angolo triplo, la dimostrazione è semplice.

Prova:

Permettere #theta = arccos x. #

# x = cos theta #

# cos 3 theta = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #

# cos 3 (arccos x) = 4x ^ 3 - 3 x #

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 - 3x) quad sqrt #