Un triangolo ha i vertici A (a, b), C (c, d) e O (0, 0). Qual è l'equazione e l'area del cerchio circoscritto del triangolo?

Risposta:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s quad # dove

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

#A = pi s #

Spiegazione:

Ho generalizzato la domanda; vediamo come va. Ho lasciato un vertice all'origine, che lo rende un po 'meno disordinato, e un triangolo arbitrario è facilmente tradotto.

Ovviamente il triangolo è totalmente non essenziale a questo problema. Il cerchio circoscritto è il cerchio attraverso i tre punti, che capita di essere i tre vertici. Il triangolo fa un'apparizione a sorpresa nella soluzione.

Qualche terminologia: il cerchio circoscritto è chiamato il triangolo circumcircle e il suo centro è il triangolo circumcenter.

L'equazione generale per un cerchio con centro # (P, q) # e raggio quadrato #S# è

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

e l'area del cerchio è #A = pi s #

Abbiamo tre incognite # P, q, s # e conosciamo tre punti, quindi otteniamo tre equazioni:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # perché l'origine è sul cerchio.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

Risolviamo le equazioni simultanee. Trasformiamole in due equazioni lineari espandendo e sottraendo le coppie, il che equivale a perdere # P ^ 2 + q ^ 2 # a sinistra e #S# sulla destra.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

sottraendo, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

Allo stesso modo, # 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

Ecco due equazioni in due incognite. # AX = K # ha una soluzione # X = A ^ {- 1} K. # Ricordo i due a due matrici inverse che non so come formattare, #A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (stackrel {d, -b} {-c, a}) #

Per noi questo significa

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

e un raggio quadrato di

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

# s = {(d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2} / {4 (ad-bc) ^ 2} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

quindi una zona di #pi# tempi che ammontano

Possiamo vedere l'espressione diventare più simmetrica se consideriamo cosa succede per il triangolo arbitrario #(A B C D E F).# Prepariamo # A = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # ma non lo farò ora.

Prenderò nota del numeratore di #S# è il prodotto delle tre lunghezze quadrate dei lati del triangolo e il denominatore di #S# è sedici volte l'area quadrata del triangolo.

In Rational Trigonometry vengono chiamate lunghezze quadrate quadrances e sedici volte l'area quadrata è chiamata il quadrea. Abbiamo trovato che la quadranza del raggio del circumcircle è il prodotto dei quadranti del triangolo diviso per il suo quadrea.

Se abbiamo solo bisogno del raggio o area del circumcircolo, possiamo riassumere qui il risultato come:

Il raggio quadrato del circumcircle è il prodotto delle lunghezze quadrate del triangolo diviso per sedici volte l'area quadrata del triangolo.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #