Quali sono i asintoti e le buche, se presenti, di f (x) = x / (x ^ 4-x ^ 2)?

Risposta:

#f (x) # ha asintoti verticali # x = -1 #, # X = 0 # e # X = 1 #.

Ha asintoto orizzontale # Y = 0 #.

Non ha asintoti o buchi inclinati.

Spiegazione:

Dato:

#f (x) = x / (x ^ 4-x ^ 2) #

Mi piace questa domanda, poiché fornisce un esempio di una funzione razionale che prende un #0/0# valore che è un asintoto piuttosto che un buco …

# x / (x ^ 4-x ^ 2) = colore (rosso) (cancella (colore (nero) (x))) / (colore (rosso) (cancella (colore (nero) (x))) * x * (x ^ 2-1)) = 1 / (x (x-1) (x + 1)) #

Si noti che nella forma semplificata, il denominatore è #0# per # x = -1 #, # X = 0 # e # X = 1 #, con il numeratore #1# essere non-zero.

Così #f (x) # ha asintoti verticali in ognuno di questi #X# valori.

Come #x -> + - oo # la dimensione del denominatore cresce senza limiti, mentre il numeratore rimane con #1#. Quindi c'è un asintoto orizzontale # Y = 0 #

graph {x / (x ^ 4-x ^ 2) -10, 10, -5, 5}