Qual è l'antiderivato di 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2?

Risposta:

# 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #

Spiegazione:

Quindi qui abbiamo l'integrale:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

E la forma del reciproco quadratico sembra suggerire che la sostituzione trigonometrica funzionerebbe qui. Quindi per prima cosa completa il quadrato per ottenere:

# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #

Quindi applicare la sostituzione #u = x-1 # rimuovere il lineare:

# (du) / dx = 1 #

#rArr du = dx #

Quindi possiamo tranquillamente cambiare le variabili senza effetti collaterali indesiderati:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = int 1 / ((x-1) ^ 2 +1) ^ 2 dx #

# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #

Ora, questa è la forma ideale per eseguire una sostituzione trigonometrica; # u ^ 2 + 1 # suggerisce l'identità pitagorica # 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta #, quindi applichiamo la sostituzione #u = tantheta # per semplificare il denominatore:

# (du) / (d theta) = sec ^ 2 theta #

#rArr du = sec ^ 2 theta d theta #

Quindi l'integrale diventa:

#int 1 / (sec ^ 2 theta) ^ 2 * sec ^ 2 theta d theta #

# = int 1 / (sec ^ 2 theta) d theta #

# - = int cos ^ 2 theta d theta #

Ora, usiamo la formula a doppio angolo per # cos # per rendere questo più elementare più gestibile:

#cos (2theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 #

#hArr cos ^ 2 theta = 1/2 (cos (2 theta) + 1) #

Quindi inseritelo nell'integrale:

# 1/2 int cos (2 theta) + 1 d theta #

# = 1/2 (theta + 1/2 sin (2 theta)) + c # (e riaprendo questo con la formula del doppio angolo per #peccato#)

# = 1/2 theta + 1 / 2sinthetacostheta + c #

Adesso, # x-1 = u = tan theta #

#rArr theta = arctan (x-1) #

# 1 + (x-1) ^ 2 = sec ^ 2 theta #

#rArr cos theta = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #

#sin theta = tan theta * cos theta #

#rArr sin theta = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #

#:. sintheta * costheta = (x-1) / (x ^ 2-2x + 2) #

Infine, arrivando al punto:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #