Qual è la differenza tra un antiderivato e un integrale?

Non ci sono differenze, le due parole sono sinonimi.

Dipende da un paio di cose. Quale antiderivista, generale o particolare? quale integrale definito o indefinito? E chi chiediamo?

Integrale generale antiderivato e indefinito:

Molti matematici non distinguono l'integrale indefinito e la generale antiderivata. In entrambi i casi per la funzione # F # la risposta è #F (x) + C # dove #F '(x) = f (x) #..

Alcuni (ad esempio, l'autore di libri di testo James Stewart) fanno una distinzione. Ciò che Stewart definisce "la più generale" antiderivata di # F #, ammette diverse costanti per ogni discontiuità di # F #. Ad esempio, risponderebbe alla più generale antiderivata di # 1 / x ^ 2 # è una funzione definita a tratti:

#F (x) = (- 1) / x + C_1 # per #x <0 # e # (- 1) / x + C_2 # per #x> 0 #.

L'integrale indefinito di # F #, in questo trattamento, è sempre un antiderivata su un intervallo su cui # F # è continuo.

Così #int 1 / x ^ 2 dx = -1 / x + C #, dove si comprende che il dominio è limitato a qualche sottoinsieme dei reali positivi o di un sottoinsieme dei reali negativi.

Particolari antiderivati

Una particolare antiderivata di # F # è una funzione # F # (piuttosto che una famiglia di funzioni) per cui #F '(x) = f (x) #.

Per esempio:

#F (x) = (- 1) / x + 5 # per #x <0 # e # (- 1) / x + 1 # per #x> 0 #.

è un particolare antidervativo di #f (x) = 1 / x ^ 2 #

E:

#G (x) = (- 1) / x-3 # per #x <0 # e # (- 1) / x + 6 # per #x> 0 #.

è un particolare antidervativo di #f (x) = 1 / x ^ 2 #.

Integrali definiti

L'integrale definito di # F # a partire dal #un# a # B # non è una funzione. È un numero

Per esempio:

# int_1 ^ 3 1 / x ^ 2 dx = 2/3 #.

(Per complicare ulteriormente le cose, questo integrale definito può essere trovato, usando il Teorema Fondamentale del Calcolo, Parte 2, trovando prima / un indefinito integrale / generale antiderivivo prima, quindi facendo somearithmetic.)

La tua domanda è legata a quello che è stato veramente il "punto chiave" nello sviluppo del calcolo di Isaac Newton e Gottfried Leibniz.

Concentrandosi su funzioni che non sono mai negative, questa intuizione può essere formulata come: "Gli antiderivati possono essere usati per trova aree (integrali) e aree (integrali) possono essere utilizzati per definire antiderivati ". Questa è l'essenza del Teorema fondamentale del calcolo.

Senza preoccuparsi delle somme di Riemann (dopo tutto, Bernhard Riemann visse quasi 200 anni dopo Newton e Leibniz) e prendendo la nozione di area come un concetto intuitivo (indefinito), per una funzione continua non negativa #f (x) geq 0 # per tutti #X# con #a leq x leq b #, pensa solo al simbolo integrale definito # int_ {a} ^ {b} f (x) dx # come rappresentante l'area sotto il grafico di # F # e sopra il #X#-associazione tra # x = a # e # X = b #. Se un'altra funzione # F # può essere trovato in modo che #F '(x) = f (x) # per tutti #a leq x leq b #, poi # F # è chiamato un antiderivato di # F # nell'intervallo # A, b # e la differenza #F (b) -F (a) # è uguale al valore dell'integrale definito. Questo è, # int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a) #. Questo fatto è utile per scoperta il valore di un integrale definito (area) quando è possibile trovare una formula per una antiderivata.

Viceversa, se si imposta una variabile come limite superiore del simbolo integrale, chiamarla # T #e definire una funzione # F # dalla formula #F (t) = int_ {a} ^ {t} f (x) dx # (così #F (t) # è davvero l'area sotto il grafico di # F # fra # x = a # e # X = t #, assumendo #a leq t leq b #), quindi questa nuova funzione # F # è ben definito, differenziabile e #F '(t) = f (t) # per tutti i numeri # T # fra #un# e # B #. Abbiamo usato un integrale per definire un antiderivato di # F #. Questo fatto è utile per approssimare i valori di una antiderivata quando non è possibile trovare una formula per esso (usando metodi di integrazione numerica come la regola di Simpson). Ad esempio, viene sempre utilizzato dagli statistici quando si avvicinano le aree sotto la curva Normale. I valori di una speciale antiderivata della curva normale standard vengono spesso indicati in una tabella nei libri di statistica.

Nel caso in cui # F # ha valori negativi, l'integrale definito deve essere pensato in termini di "aree firmate".