Qual è la proiezione di (3i + 2j - 6k) su (3i - 4j + 4k)?

Risposta:

La proiezione vettoriale è #< -69/41,92/41,-92/41 >#, la proiezione scalare è # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Spiegazione:

Dato # Veca = (3i + 2j-6K) # e # vecb = (3i-4j + 4k) #, possiamo trovare #proj_ (vecb) Veca #, il vettore proiezione di # # Veca su # # Vecb usando la seguente formula:

#proj_ (vecb) Veca = ((Veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Cioè, il prodotto punto dei due vettori diviso per la grandezza di # # Vecb, moltiplicato per # # Vecb diviso per la sua magnitudine. La seconda quantità è una quantità vettoriale, poiché dividiamo un vettore per uno scalare. Nota che dividiamo # # Vecb per la sua grandezza al fine di ottenere un vettore unitario (vettore con magnitudine di #1#). Si potrebbe notare che la prima quantità è scalare, come sappiamo che quando prendiamo il prodotto punto di due vettori, il risultante è uno scalare.

quindi, il scalare proiezione di #un# su # B # è #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| B |) #, anche scritto # | Proj_ (vecb) Veca | #.

Possiamo iniziare prendendo il prodotto punto dei due vettori, che può essere scritto come # veca = <3,2, -6> # e # vecb = <3, -4,4> #.

# veca * vecb = <3,2, -6> * <3, -4,4> #

#=> (3*3)+(2*-4)+(-6*4)#

#=>9-8-24=-23#

Quindi possiamo trovare la grandezza di # # Vecb prendendo la radice quadrata della somma dei quadrati di ciascuno dei componenti.

# | Vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | Vecb | = sqrt ((3) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => Sqrt (9 + 16 + 16) = sqrt (41) #

E ora abbiamo tutto ciò di cui abbiamo bisogno per trovare la proiezione vettoriale di # # Veca su # # Vecb.

#proj_ (vecb) veca = (- 23) / sqrt (41) * (<3, -4,4>) / sqrt (41) #

#=>(-23 < 3,-4,4 >)/41#

#=>-23/41< 3,-4,4 >#

È possibile distribuire il coefficiente a ciascun componente del vettore e scrivere come:

#=>< -69/41,92/41,-92/41 >#

La proiezione scalare di # # Veca su # # Vecb è solo la prima metà della formula, dove #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| B |) #. Pertanto, la proiezione scalare è # -23 / sqrt (41) #, che non semplifica ulteriormente, oltre a razionalizzare il denominatore se lo si desidera, dando # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Spero che sia d'aiuto!