Qual è la proiezione di <0, 1, 3> su <0, 4, 4>?

Risposta:

La proiezione vettoriale è #< 0,2,2 >#, la proiezione scalare è # # 2sqrt2. Vedi sotto.

Spiegazione:

Dato # veca = <0,1,3> # e # vecb = <0,4,4> #, possiamo trovare #proj_ (vecb) Veca #, il vettore proiezione di # # Veca su # # Vecb usando la seguente formula:

#proj_ (vecb) Veca = ((Veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Cioè, il prodotto punto dei due vettori diviso per la grandezza di # # Vecb, moltiplicato per # # Vecb diviso per la sua magnitudine. La seconda quantità è una quantità vettoriale, poiché dividiamo un vettore per uno scalare. Nota che dividiamo # # Vecb per la sua grandezza al fine di ottenere un vettore unitario (vettore con magnitudine di #1#). Si potrebbe notare che la prima quantità è scalare, come sappiamo che quando prendiamo il prodotto punto di due vettori, il risultante è uno scalare.

quindi, il scalare proiezione di #un# su # B # è #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| B |) #, anche scritto # | Proj_ (vecb) Veca | #.

Possiamo iniziare prendendo il prodotto punto dei due vettori:

# veca * vecb = <0,1,3> * <0,4,4> #

#=> (0*0)+(4*1)+(4*3)#

#=>0+4+12=16#

Quindi possiamo trovare la grandezza di # # Vecb prendendo la radice quadrata della somma dei quadrati di ciascuno dei componenti.

# | Vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | Vecb | = sqrt ((0) ^ 2 + (4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => Sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt (32) #

E ora abbiamo tutto ciò di cui abbiamo bisogno per trovare la proiezione vettoriale di # # Veca su # # Vecb.

#proj_ (vecb) veca = (16) / sqrt (32) * (<0,4,4>) / sqrt (32) #

#=>(16 < 0,4,4 >)/32#

#=>(< 0,4,4 >)/2#

#=>< 0,2,2 >#

La proiezione scalare di # # Veca su # # Vecb è solo la prima metà della formula, dove #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| B |) #. Pertanto, la proiezione scalare è # 16 / sqrt (32) #, che semplifica ulteriormente a # # 2sqrt2. Ho mostrato la semplificazione di seguito.

# 16 / sqrt (32) #

# => 16 / sqrt (16 * 2) #

# => 16 / (4 * sqrt2) #

# => 4 / sqrt2 #

# => (4 * sqrt2) / (sqrt2 * sqrt2) #

# => (4sqrt2) / 2 #

# => 2sqrt2 #

Spero che sia d'aiuto!