Semplificando S_ (k + 1) completamente. Grazie?!!

Risposta:

# S_k = k (k + 1) (k + 2) / 3 #

#S_ (k + 1) = (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

Spiegazione:

Non possiamo semplicemente sostituire # X = k + 1 # nella formula, o mi manca qualcosa qui?

La sequenza è:

# S_n = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + n (n + 1) = n (n + 1) (n + 2) / 3 #

Quindi, se vogliamo calcolare # # S_k, abbiamo appena messo # N = k #, e prendi

# S_k = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + k (k + 1) = k (k + 1) (k + 2) / 3 #

In caso di #S_ (k + 1) #, Penso che possiamo semplicemente sostituire # N = k + 1 #e avremo

#S_ (k + 1) = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + (k + 1) (k + 2) = (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

Se vogliamo espandere questo, diventa

# (K + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

# = (K ^ 2 + 3k + 2) (k + 3) / 3 #

# = (K ^ 3 + 3k ^ 2 + 3k ^ 2 + 9k + 2k + 6) / 3 #

# = (K ^ 3 + 6k ^ 2 + 11k + 6) / 3 #

# = K ^ 3/3 + (6k ^ 2) / 3 + (11k) / 3 + 6/3 #

# = K ^ 3/3 + 2k ^ 2 + (11k) / 3 + 2 #

Risposta:

#S_ (k + 1) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

Spiegazione:

#S_n: 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n (n + 1) = (n (n + 1) (n + 2)) / 3 #

Lascia che l'affermazione sia vera per n = k, #S_k: 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + k (k + 1) = (k (k + 1) (k + 2)) / 3 #

Cerchiamo di verificare per

n = k + 1, quindi

# S_n = S_ (k + 1) #

# N + 1 = k + 2 #

# N + 2 = k + 3 #

# "con il termine immediato" (k + 1) (k + 2) #

# (N (n + 1) (n + 2)) / 3 = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

Così, #S_ (k + 1): 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + k (k + 1) + (k + 1) (k + 2) #

#S_ (k + 1): S_k + (k (k + 1) (k + 2)) / 3 #

# = (K (k + 1) (k + 2)) / 3+ (k + 1) (k + 2) #

# = 1/3 (k (k + 1) (k + 2) + 3 (k + 1) (k + 2)) #

# = 1/3 ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

Verificato.

così

#S_ (k + 1) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #