Trova tutti i punti critici per questa funzione?

Risposta:

#(0,-2)# è un punto di sella

#(-5,3)# è un minimo locale

Spiegazione:

Siamo dati #G (x, y) = 3x ^ 2 + 6xy + 2y ^ 3 + 12x-24y #

Per prima cosa, dobbiamo trovare i punti in cui # (Delg) / (delx) # e # (Delg) / (dely) # entrambi uguali a 0.

# (Delg) / (delx) = 6x + 6y + 12 #

# (Delg) / (dely) = 6x + 6y ^ 2-24 #

# 6 (x + y + 2) = 0 #

# 6 (x + y ^ 2-4) = 0 #

# x + y + 2 = 0 #

# X = y-2 #

# -Y-2 + y ^ 2-4 = 0 #

# Y ^ 2-y-6 = 0 #

# (Y-3) (y + 2) = 0 #

# y = 3 o -2 #

# X = -3-2 = -5 #

# X = 2-2 = 0 #

I punti critici si verificano a #(0,-2)# e #(-5,3)#

Ora per la classificazione:

Il determinante di #f (x, y) # è dato da #D (x, y) = (del ^ 2g) / (delx ^ 2) (del ^ 2g) / (dely ^ 2) - ((del ^ 2g) / (delxy)) ^ 2 #

# (Del ^ 2g) / (delx ^ 2) = del / (delx) ((Delg) / (delx)) = del / (delx) (6x + 6y + 12) = 6 #

# (Del ^ 2g) / (dely ^ 2) = del / (dely) ((Delg) / (dely)) = del / (dely) (6x + 6y ^ 2-24) = 12y #

# (Del ^ 2g) / (delxy) = del / (delx) ((Delg) / (dely)) = del / (delx) (6x + 6y ^ 2-24) = 6 #

# (Del ^ 2g) / (delyx) = del / (dely) ((Delg) / (delx)) = del / (dely) (6x + 6y + 12) = 6 #

#D (x, y) = 6 (12y) -36 #

#D (0, -2) = 72 (-2) -36 = -180 #

#D (-5,3) = 72 (3) -36 = 180 #

Da #D (0, -2) <0 #, #(0,-2)# è un punto di sella.

E da allora #D (-5,3)> 0 e (del ^ 2g) / (delx ^ 2)> 0 #, #(-5,3)# è un minimo locale. (# (Del ^ 2g) / (delx ^ 2) = 6 # quindi non abbiamo bisogno di fare calcoli).