Sia f una funzione continua: a) Trova f (4) se _0 ^ (x ^ 2) f (t) dt = x sin πx per tutti x. b) Trova f (4) se _0 ^ f (x) t ^ 2 dt = x sin πx per tutti x?

Risposta:

un) #f (4) = pi / 2 #; b) #f (4) = 0 #

Spiegazione:

un) Differenziare entrambi i lati.

Attraverso il Secondo Teorema del Calcolo Fondamentale sul lato sinistro e le regole del prodotto e della catena sul lato destro, vediamo che la differenziazione rivela che:

#f (x ^ 2) * 2x = sin (pix) + pixcos (pix) #

lasciando # X = 2 # mostra che

#f (4) * 4 = sin (2pi) + 2picos (2pi) #

#f (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 #

#f (4) = pi / 2 #

b) Integrare il termine interno.

# Int_0 ^ f (x) t ^ 2DT = xsin (pix) #

# T ^ 3/3 _0 ^ f (x) = xsin (pix) #

Valutare.

# (F (x)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (pix) #

# (F (x)) ^ 3/3 = xsin (pix) #

# (F (x)) ^ 3 = 3xsin (pix) #

Permettere # X = 4 #.

# (F (4)) ^ 3 = 3 (4) sin (4Pi) #

# (F (4)) ^ 3 = 12 * 0 #

#f (4) = 0 #