Risolvi ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0?

Risposta:

Un rapido schizzo …

Spiegazione:

Dato:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # con #a! = 0 #

Questo diventa piuttosto complicato, quindi mi limiterò a dare uno schizzo di un metodo …

Moltiplicato per # 256a ^ 3 # e sostituto #t = (4ax + b) # per ottenere un depresso quartico della forma:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

Si noti che poiché questo non ha termine in # T ^ 3 #, deve prendere in considerazione la forma:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-At + B) (t ^ 2 + At + C) #

#color (bianco) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 + (B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C) t + BC #

Coefficienti di equating e riorganizzando un po ', noi abbiamo:

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d):} #

Quindi troviamo:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#color (bianco) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#color (bianco) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

Moltiplicando, moltiplicando per # Un ^ 2 # e riordinando leggermente, questo diventa:

# (A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

Questo "cubico in # Un ^ 2 #"ha almeno una radice reale, idealmente ha una radice reale positiva che fornisce due possibili valori reali per #UN#. Indipendentemente da ciò, qualsiasi radice del cubo farà.

Dato il valore di #UN#, noi abbiamo:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A) #

#C = 1/2 ((B + C) - (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A) #

Quindi otteniamo due quadratici da risolvere.