Psi (x, t) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) nuova domanda ?

#un)#

Devi solo prendere #Psi ^ "*" Psi #.

#color (blu) (Psi ^ "*" Psi) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) ^ "*" sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ (iomega_2t) sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = 1 / Lsin ^ 2 ((pix) / L) + 1 / L ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_2-omega_1) t) + 1 / L sin ^ 2 ((2pix) / L) #

# = colore (blu) (1 / L sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + e ^ (i (omega_2-omega_1) t)) #

#b) #

Il periodo può essere trovato con il minimo sforzo, semplicemente conoscendo prima le energie, che sono costanti del movimento.

L'energia di # phi_1 = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) # è # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2ℏ ^ 2) / (4mL ^ 2) #e l'energia di # # Phi_2 è # # 4E_1. Pertanto, la frequenza # # Omega_2 di # # Phi_2 è quattro volte quello di # # Phi_1 (# # Omega_1).

Di conseguenza, il periodo # T_1 = (2pi) / (omega_1) # di # # Phi_1 è quattro volte quello di # # Phi_2 (# T_2 = (2pi) / (omega_2) #ed è anche un periodo di # # Phi_2.

Il periodo è così #color (blu) (T = (2pi) / (omega_1)) #.

#C) #

Ti lascio collegare questo in te stesso come #t _ "*" = pi / 2 (E_2-E_1) #. Non devi fare nulla con questo …

Lo sappiamo #T = (2pi) / (omega_1) #, e quello # (iEt) / ℏ = iomegat #, così

#E_n = omega_nℏ #.

Di conseguenza, # pi / (2 (E_2-E_1)) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) #

e

#color (blu) (t _ "*" / T) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2pi) #

# = 1 / (2 (4omega_1-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2) #

# = omega_1 / (4ℏ (3omega_1)) #

# = colore (blu) (1 / (12ℏ)) #

#d) #

La probabilità di trovare la particella dentro # 0, L / 2 # è dato come

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*" Psidx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (- 3iomega_1t) + e ^ (3iomega_1t) dx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

I primi due termini sono simmetrici con metà dell'ampiezza e rendimento #50%# complessivamente.

Il terzo termine avrebbe una probabilità di stato stazionario di # 4 / (3pi) #, e # cos # è un fattore di fase arbitrario. Quindi, la probabilità complessiva è

# = colore (blu) (0,50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#E) #

#color (blu) (<< x >>) = << Psi | x | Psi >> = << xPsi | Psi >> #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Non c'è una soluzione banale a questo … Questo risulta essere:

# = L / (4pi ^ 2) + L / 8 + (2L) / (3pi) - (8L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t) #

# = colore (blu) (((2 + pi ^ 2) L) / (8pi ^ 2) + ((6pi - 8) L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t)) #

#f) #

A #x = L / 2 #, il #peccato# i termini vanno a #sin (pi / 2) = 1 # e a #sin (pi) = 0 #, rispettivamente.

Da #sin (pi) = 0 #, la parte dipendente dal tempo di #Psi ^ "*" Psi # svanisce e la parte indipendente dal tempo conserva # 1 / L # come la densità di probabilità.