Trovare (i) tanAtanB, (ii) tan (A + B), (iii) sin ((A + B) / 2) usando le formule di aggiunta?

Risposta:

Quelli hanno ragione tranne che (ii) è invertito. #tan (A + B) # dovrebbe essere #4/3# come #sin (A + B) = 4/5 # e #cos (A + B) = 3/5 #.

Spiegazione:

Divertimento. Dato #cos (A + B) = 3/5 quad e quad cos A cos B = 7/10 #

Esaminiamo le identità rilevanti.

# cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B #

#sin A sin B = cos A cos B -cos (A + B) = 7/10 - 3/5 = 1/10 #

# tanA tan B = {sin A sin B} / {cos A cos B} = {1/10} / {7/10} = 1/7 quad # scelta (i)

# cos ^ 2 (A + B) + sin ^ 2 (A + B) = 1 #

#sin (A + B) = pm sqrt {1- (3/5) ^ 2} = pm 4/5 #

#UN# e # B # sono acuti, # A + B <180 ^ circ # quindi un seno positivo:

#sin (A + B) = 4/5 #

#tan (A + B) = sin (A + B) / cos (A + B) = {4/5} / {3/5} = 4/3 quad # NESSUNO DEI PRECEDENTI

Una formula a doppio angolo è #cos (2x) = 1-2 sin ^ 2 x # così

#sin ((A + B) / 2) = pm sqrt {1/2 (1 - cos (A + B))} #

La media di #UN# e # B # è acuto, quindi scegliamo il segno positivo.

#sin ((A + B) / 2) = + sqrt {1/2 (1 - 3/5)) = 1 / sqrt {5} quad # scelta (iii)

Uno dei tre sbagliato, B-.

Risposta:

Si prega di fare riferimento al Sezione di spiegazione.

Spiegazione:

Dato che #cos (A + B) = 3/5 #.

#:. cosAcosB-sinAsinB = 3/5 #.

#:. 7/10-sinAsinB = 3/5 #.

#:. sinAsinB = 7 / 10-3 / 5 = 1/10 #.

#:. (SinAsinB) / (cosAcosB) = (1/10) / (7/10) #.

Quindi, # TanAtanB = 1/7 ………….. "Ans". (I) #.

Dato che, # 0 lt A lt pi / 2, 0 lt B lt pi / 2 #.

Aggiunta, # 0 lt (A + B) lt pi #.

#:. (A + B) in Q_1uuQ_2 #.

Ma, #cos (A + B) = 3/5 gt 0 #.

#:. (A + B) in Q_1 #.

Adesso, # Sin ^ 2 (A + B) = 1-cos ^ 2 (A + B) = 1- (3/5) ^ 2 = 16/25 #.

#:. sin (A + B) = + - 4/5; "ma, perché," (A + B) in Q_1, #

# sin (A + B) = + 4/5 #.

#:. tan (A + B) = sin (A + B) / cos (A + B) = (4/5) / (3/5) = 4/3 … "Ans." (II) #.

Finalmente, per trovare #sin ((A + B) / 2), "let," (A + B) /2=theta.#

#:. cos (A + B) = cos2theta = 3/5 #.

# "Ora" cos2theta = 3/5 rArr cos (theta + theta) = 3/5 #.

#:. costhetacostheta-sinthetasintheta = 3/5 … perché, "Formula di addizione" #

#:. cos ^ 2theta-sin ^ 2theta = 3/5, cioè, #

# (1-sin ^ 2theta) -sin ^ 2theta = 3/5, o, #

# 1-2sin ^ 2theta = 3/5 rArr sin ^ 2theta = 1/2 (1-3 / 5) = 1/5 #.

#:. sintheta = + - 1 / sqrt5 #

Da, # (A + B) = 2theta # si trova in # Q_1, "così fa" theta = (A + B) / 2 #.

#:. sintheta = sin ((A + B) / 2) = + 1 / + sqrt5 = sqrt5 / 5 …… "Ans." (iii) #.