Qual è l'area della superficie del solido creata ruotando f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), x in [1,3] attorno all'asse x?

Risposta:

Determina il segno, quindi integra per parti. L'area è:

# A = 39,6345 #

Spiegazione:

Devi sapere se #f (x) # è negativo o positivo in #1,3#. Perciò:

# Xe ^ -x-xe ^ x #

#x (e ^ -x-e ^ x) #

Per determinare un segno, il secondo fattore sarà positivo quando:

# E ^ -x-e ^ x> 0 #

# 1 / e ^ x-e ^ x> 0 #

# E ^ x * 1 / e ^ x-e ^ x * e ^ x> e ^ x * 0 #

Da # E ^ x> 0 # per ogni #x in (-oo, + oo) # l'ineguaglianza non cambia:

# 1-e ^ (x + x)> 0 #

# 1-e ^ (2x)> 0 #

# E ^ (2x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

#x <0 #

Quindi la funzione è positiva solo quando x è negativo e viceversa. Poiché c'è anche un #X# fattore in #f (x) #

#f (x) = x (e ^ -x-e ^ x) #

Quando un fattore è positivo, l'altro è negativo, quindi f (x) lo è sempre negativo. Pertanto, l'area:

# A = -int_1 ^ 3f (x) dx #

# A = -int_1 ^ 3 (xe ^ -x-xe ^ x) dx #

# A = -int_1 ^ ^ 3XE -xdx + int_1 ^ ^ 3XE xdx #

# A = -int_1 ^ 3x * (- (e ^ -x) ') dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = int_1 ^ 3x * (e ^ -x) 'dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x) 'e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x)' e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3 ^ int_1 3e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3 ^ int_1 3e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3 - - e ^ -x _1 ^ 3 + x (e ^ x) _ 1 ^ 3- e ^ x _1 ^ 3 #

# A = (3e ^ -3-1 * e ^ -1) + (e ^ -3-e ^ -1) + (3e ^ 3-1 * e ^ 1) - (e ^ 3e ^ 1) #

# A = 3 / e ^ 3-1 / e + 1 / e ^ 3-1 / E + 3e ^ 3e-e ^ 3 + e #

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

Utilizzando la calcolatrice:

# A = 39,6345 #

Risposta:

Area = 11.336,8 unità quadrate

Spiegazione:

il dato #f (x) = xe ^ -x -xe ^ x #

per semplicità lascia #f (x) = y #

e # y = xe ^ -x -xe ^ x #

la prima derivata # Y '# è necessario nel calcolo della superficie.

La zona # = 2pi int_1 ^ 3 y # # ds #

dove # ds ## = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # Dx #

La zona # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # Dx #

Determina la prima derivata # Y '#:

differenziare # y = x (e ^ -x - e ^ x) # utilizzando il derivato della formula del prodotto

#y '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x -x * e ^ x #

dopo la semplificazione e il factoring, il risultato è

la prima derivata # Y '= e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x) #

Calcola ora l'Area:

Area = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # ds #

La zona # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # Dx #

La zona

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # Dx #

Per integrali complicati come questo, possiamo usare la regola di Simpson:

così che

La zona

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # Dx #

Area = -11.336.804

questo implica la direzione della rivoluzione in modo che possa esserci un'area superficiale negativa o un'area superficiale positiva. Consideriamo solo il valore positivo Area = 11336.804 unità quadrate