Qual è la proiezione di (4 i + 4 j + 2 k) su (i + j -7k)?

Risposta:

La proiezione vettoriale è #< -2/17,-2/17,14/17 >#, la proiezione scalare è # (- 2sqrt (51)) / 17 #. Vedi sotto.

Spiegazione:

Dato # Veca = (4i + 4j + 2k) # e # vecb = (i + j-7k) #, possiamo trovare #proj_ (vecb) Veca #, il vettore proiezione di # # Veca su # # Vecb usando la seguente formula:

#proj_ (vecb) Veca = ((Veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Cioè, il prodotto punto dei due vettori diviso per la grandezza di # # Vecb, moltiplicato per # # Vecb diviso per la sua magnitudine. La seconda quantità è una quantità vettoriale, poiché dividiamo un vettore per uno scalare. Nota che dividiamo # # Vecb per la sua grandezza al fine di ottenere un vettore unitario (vettore con magnitudine di #1#).Si potrebbe notare che la prima quantità è scalare, come sappiamo che quando prendiamo il prodotto punto di due vettori, il risultante è uno scalare.

quindi, il scalare proiezione di #un# su # B # è #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| B |) #, anche scritto # | Proj_ (vecb) Veca | #.

Possiamo iniziare prendendo il prodotto punto dei due vettori, che può essere scritto come # veca = <4,4,2> # e # vecb = <1,1, -7> #.

# veca * vecb = <4,4,2> * <1,1, -7> #

#=> (4*1)+(4*1)+(2*-7)#

#=>4+4-14=-6#

Quindi possiamo trovare la grandezza di # # Vecb prendendo la radice quadrata della somma dei quadrati di ciascuno dei componenti.

# | Vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | Vecb | = sqrt ((1) ^ 2 + (1) ^ 2 + (- 7) ^ 2) #

# => Sqrt (1 + 1 + 49) = sqrt (51) #

E ora abbiamo tutto ciò di cui abbiamo bisogno per trovare la proiezione vettoriale di # # Veca su # # Vecb.

#proj_ (vecb) veca = (- 6) / sqrt (51) * (<1,1, -7>) / sqrt (51) #

#=>(-6 < 1,1,-7 >)/51#

#=>-2/17< 1,1,-7 >#

È possibile distribuire il coefficiente a ciascun componente del vettore e scrivere come:

#=>< -2/17,-2/17,+14/17 >#

La proiezione scalare di # # Veca su # # Vecb è solo la prima metà della formula, dove #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| B |) #. Pertanto, la proiezione scalare è # -6 / sqrt (51) #, che non semplifica ulteriormente, oltre a razionalizzare il denominatore se lo si desidera, dando # (- 6sqrt (51)) / 51 => (-2sqrt (51)) / 17 #

Spero che sia d'aiuto!