Due angoli di un triangolo hanno angoli di (3 pi) / 8 e pi / 8. Se un lato del triangolo ha una lunghezza di 3, qual è il perimetro più lungo possibile del triangolo?

Per prima cosa, notiamo che se ci sono due angoli # Alpha = pi / 8 # e # Beta = (3pi) / 8 #, come la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre #pi# il terzo angolo è: # gamma = pi-pi / 8- (3pi) / 8 = pi / 2 #, quindi questo è un triangolo rettangolo.

Per massimizzare il perimetro il lato conosciuto deve essere il cateto più corto, quindi sarà opposto all'angolo più piccolo, che è #alfa#.

L'ipotenusa del triangolo sarà quindi:

# c = a / sin alpha = 3 / sin (pi / 8) #

dove #sin (pi / 8) = sin (1 / 2pi / 4) = sqrt ((1-cos (pi / 4)) / 2) = sqrt ((1-sqrt (2) / 2) / 2) #

# c = (3sqrt (2)) / sqrt (1-sqrt (2) / 2) #

mentre l'altro cateto è:

#b = a / tan (pi / 8) #

dove #tan (pi / 8) = sqrt ((1-sqrt (2) / 2) / (1 + sqrt (2) / 2)) #

# B = 3sqrt ((1 + sqrt (2) / 2) / (1-sqrt (2) / 2)) #

Finalmente:

# a + b + c = 3+ (3sqrt (2)) / sqrt (1-sqrt (2) / 2) + 3sqrt ((1 + sqrt (2) / 2) / (1-sqrt (2) / 2)) #