Due angoli di un triangolo hanno angoli di (2 pi) / 3 e (pi) / 4. Se un lato del triangolo ha una lunghezza di 4, qual è il perimetro più lungo possibile del triangolo?

Risposta:

# P_MAX = 28.31 # unità

Spiegazione:

Il problema ti dà due dei tre angoli in un triangolo arbitrario. Poiché la somma degli angoli in un triangolo deve aggiungere fino a 180 gradi, o #pi# radianti, possiamo trovare la terza angolazione:

# (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi #

# X = pi- (2pi) / 3-pi / 4 #

# X = (12pi) / 12- (8PI) / 12- (3pi) / 12 #

# X = pi / 12 #

Disegniamo il triangolo:

Il problema afferma che uno dei lati del triangolo ha una lunghezza di 4, ma non specifica quale lato. Tuttavia, in ogni triangolo dato, è vero che il minore il lato sarà opposto dall'angolo più piccolo.

Se vogliamo massimizzare il perimetro, dovremmo rendere il lato con lunghezza 4 il lato opposto rispetto all'angolo più piccolo. Poiché gli altri due lati saranno più grandi di 4, garantisce che massimizzeremo il perimetro. Pertanto, il triangolo fuori diventa:

Finalmente, possiamo usare il legge dei seni per trovare le lunghezze degli altri due lati:

#sin (a) / A = sin (b) / B = sin (c) / C #

Collegando, otteniamo:

#sin (pi / 12) / 4 = sin (pi / 4) / x = sin ((2pi) / 3) / y #

Risolvendo per x e y otteniamo:

# x = 10.93 # e # Y = 13.38 #

Pertanto, il perimetro massimo è:

# P_MAX = 4 + 10.93 + 13.38 #

# P_MAX = 28.31 #

Nota: Poiché il problema non specifica le unità di lunghezza sul triangolo, usa semplicemente "unità".