Sqrt21 numero reale, numero razionale, numero intero, numero intero, numero irrazionale?

Risposta:

È un numero irrazionale e quindi reale.

Spiegazione:

Cerchiamo di provarlo prima #sqrt (21) # è un numero reale, infatti, la radice quadrata di tutti i numeri reali positivi è reale. Se #X# è un numero reale, quindi definiamo i numeri positivi #sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x} #. Ciò significa che guardiamo tutti i numeri reali # Y # così # Y ^ 2 = <x # e prendi il numero reale più piccolo che è più grande di tutti questi # Y #E 'il cosiddetto Supremum. Per i numeri negativi, questi # Y #Non esistono, poiché per tutti i numeri reali, prendere il quadrato di questo numero si traduce in un numero positivo, e tutti i numeri positivi sono più grandi dei numeri negativi.

Per tutti i numeri positivi, ce ne sono sempre alcuni # Y # quello si adatta alla condizione # Y ^ 2 = <x #, cioè #0#. Inoltre, vi è un limite superiore a questi numeri, vale a dire # x + 1 #, dal momento che # 0 <= y <1 #, poi # X + 1> y #, Se #y> = 1 #, poi #y <= y ^ 2 <= x #, così # X + 1> y #. Possiamo mostrare che per ogni serie limitata non vuota di numeri reali, c'è sempre un numero reale unico che agisce come un supremo, a causa della cosiddetta completezza di # RR #. Quindi per tutti i numeri reali positivi #X# c'è un reale #sqrt (x) #. Possiamo anche dimostrarlo in questo caso #sqrt (x) ^ 2 = x #ma se non vuoi che lo faccia, non lo dimostrerò qui. Infine, notiamo questo #sqrt (x)> = 0 #, da #0# è un numero che si adatta alla condizione, come affermato in precedenza.

Ora per l'irrazionalità di #sqrt (21) #. Se non fosse irrazionale (così razionale), potremmo scrivere come #sqrt (21) = a / b # con #un# e # B # numeri interi e # A / b # semplificato il più possibile, nel senso che #un# e # B # non hanno divisori comuni, ad eccezione di #1#. Ora questo significa # 21 = a ^ 2 / b ^ 2 #.

Ora usiamo qualcosa chiamata la fattorizzazione primaria dei numeri naturali. Ciò significa che possiamo scrivere ogni numero intero positivo come un unico prodotto di numeri primi. Per #21# questo è #3*7# e per #un# e # B # questo è un prodotto arbitrario di numeri primi # = Un a_1 * … * a_n # e # B = q_1 * … * b_m #. Il fatto che l'unico divisore comune di #un# e # B # è #1# è equivalente al fatto che #un# e # B # non condividere i primi nella loro fattorizzazione, quindi non ci sono # # A_i e # # B_j così # A_i = b_j #. Ciò significa che # A ^ 2 # e # B ^ 2 # inoltre non condivido nessun numero primi, da allora # A ^ 2 = a_1 * a_1 * … * * a_n a_n # e # B ^ 2 = q_1 * q_1 * … * b_m b_m #., quindi l'unico divisore comune di # A ^ 2 # e # B ^ 2 # è #1#. Da # A ^ 2 = 21 ter ^ 2 #, questo significa # B ^ 2 = 1 #, così # B = 1 #. Perciò #sqrt (21) = a #. Si noti che questo vale solo nel presupposto che #sqrt (21) # è razionale.

Ora potremmo ovviamente esaminare tutti i numeri positivi interi più piccoli di #21# e controlla se le squadrette danno #21#, ma questo è un metodo noioso. Per farlo in un modo più interessante, torniamo ai nostri numeri primi. Lo sappiamo # A ^ 2 = a_1 * a_1 * … * * a_n a_n # e #21=3*7#, così # 3 * 7 = a_1 * a_1 * … * * a_n a_n #. Sul lato sinistro, ogni primo si verifica solo una volta, sulla destra, ogni primo si verifica almeno due volte e sempre un numero pari di volte (se # A_1 = a_n # sarebbe per istace verificarsi almeno quattro volte). Ma come abbiamo affermato, queste prime fatture sono uniche, quindi non può essere giusto. Perciò # 21nea ^ 2 #, così #anesqrt (21) #, il che significa che la nostra precedente assunzione di #sqrt (21) # essere razionali risulta essere sbagliato, quindi #sqrt (21) # è irrazionale.

Si noti che lo stesso argomento vale per qualsiasi numero intero positivo #X# con una fattorizzazione primaria in cui uno dei primi appare un numero dispari di volte, poiché il quadrato di un numero intero ha sempre tutti i suoi fattori primi che appaiono in una quantità pari di volte. Da ciò concludiamo che se #X# è un numero intero positivo (#x inNN #) ha un fattore principale che si verifica solo una quantità irregolare di volte, #sqrt (x) # sarà irrazionale.

Sono consapevole che questa dimostrazione può sembrare un po 'lunga, ma usa concetti importanti come la matematica. Probabilmente in qualsiasi curriculum scolastico, questi tipi di ragionamento non sono inclusi (non sono sicuro al 100%, non conosco il curriculum di ogni scuola superiore del mondo), ma per i matematici effettivi, provare la roba è uno dei attività più importanti che fanno. Quindi volevo mostrarti che tipo di matematica c'è dietro alla radice quadrata delle cose. Quello che devi togliere da questo, è davvero così #sqrt (21) # è un numero irrazionale.