Come trovi il limite lim_ (h-> 0) (sqrt (1 + h) -1) / h?

Risposta:

# Frac {1} {2} #

Spiegazione:

Il limite presenta una forma indefinita #0/0#. In questo caso, puoi usare il teorema di de l'hospital, che afferma

#lim frac {f (x)} {g (x)} = lim frac {f '(x)} {g' (x)} #

La derivata del numeratore è

# Frac {1} {2sqrt (1 + h)} #

Mentre il derivato del denominatore è semplicemente #1#.

Così, # lim_ {x a 0} frac {f '(x)} {g' (x)} = lim_ {x a 0} frac { frac {1} {2sqrt (1 + h)} } {1} = lim_ {x a 0} frac {1} {2sqrt (1 + h)} #

E così semplicemente

# Frac {1} {2sqrt (1)} = frac {1} {2} #

Risposta:

# = 1/2 #

Spiegazione:

Se non sei a conoscenza della regola di hopitals …

Uso:

# (1 + x) ^ n = 1 + nx + (n (n-1)) / (2!) X ^ 2 + … #

# => (1 + h) ^ (1/2) = 1 + 1 / 2h - 1/8 h ^ 2 + … #

# => lim_ (h a 0) ((1 + 1/2 h - 1 / 8h ^ 2 + …) - 1) / h #

# => lim_ (h a 0) (1/2 h - 1 / 8h ^ 2 + …) / h #

# => lim_ (h a 0) (1/2 - 1/8 h + …) #

# = 1/2 #