Domanda n. 6bd6c

Risposta:

0

Spiegazione:

#f (x) = x ^ 3-x # è una strana funzione. Verifica #f (x) = -f (-x) #

così # int_-1 ^ 1f (x) dx = int_-1 ^ 0f (x) dx + int_0 ^ 1f (x) dx = int_0 ^ 1f (-x) dx + int_0 ^ 1f (x) dx = int_0 ^ 1 (f (x) + f (-x)) dx = 0 #

Risposta:

# Int_-1 ^ 1 (x ^ 3-x) dx = 0 #

Potrebbe essere l'area, ma la funzione non mantiene un segno costante tra #x in -1,1 #. Inoltre, a causa della simmetria in # X = 0 # che taglia della metà di questo intervallo, le aree si cancellano a vicenda e annullano l'area.

Spiegazione:

Geometricamente, l'integrale di una funzione di una sola variabile è uguale a un'area. Tuttavia, la geometria suggerisce che la funzione con valori più piccoli viene sottratta dalla funzione con valore più elevato in modo che l'area non sia negativa. Più specificamente, per due funzioni #f (x) # e #G (x) # l'area tra i due grafici in # A, b # è:

# Int_a ^ B | f (x) -g (x) | dx #

Cioè, uno deve sapere quale dei seguenti casi in realtà è vero:

#f (x)> g (x) #

#f (x) <g (x) #

Considerando ora la tua funzione, trovi il segno della differenza tra queste funzioni:

# X ^ 3-x = 0 #

#x (x ^ 2-1) = 0 #

#x (x-1) (x + 1) = 0 #

Lo vediamo per l'area data di #-1,1# che l'esercizio ti dà, il segno cambia effettivamente da positivo a negativo a # X = 0 #. Pertanto, geometricamente questo integrale definito NON rappresenta l'area. L'area effettiva è:

# A = int_-1 ^ 0 (x ^ 3-x) dx-int_0 ^ 1 (x ^ 3-x) dx #

Dal momento che l'area da 0 a 1 sarebbe negativa, aggiungiamo solo un segno meno, quindi aggiunge. Se risolvi gli integrali:

# A = x ^ 4/4-x ^ 2/2 _- 1 ^ 0- x ^ 4/4-x ^ 2/2 _0 ^ 1 #

# A = 1/4 - (- 1/4) #

#Α=2/4#

Si noti che i due integrali producono lo stesso valore? Ciò è dovuto alla simmetria della funzione, che causa l'integrale del negativo.

Per riassumere:

Il tuo integrale è uguale a:

# Int_-1 ^ 1 (x ^ 3-x) dx = x ^ 4/4-x ^ 2/2 _- ^ 1 = 1 1 / 4-1 / 4 = 0 #

L'area della funzione, se fosse stata richiesta, sarebbe:

# A = int_-1 ^ 0 (x ^ 3-x) dx-int_0 ^ 1 (x ^ 3-x) dx = 1/4 + 1/4 = 2/4 #

Pertanto, potrebbe ricordare un'area, ma l'integrale che viene fornito NON rappresenta un'area (lo si potrebbe sapere dall'inizio, poiché un'area non può essere 0). L'unico risultato geometrico che si potrebbe ottenere sarebbe la simmetria della funzione. Per asse di simmetria # X = 0 # i valori simmetrici di #X# #-1# e #+1# restituire aree uguali, quindi la funzione è probabilmente simmetrica. Rappresentare graficamente le due funzioni nello stesso foglio, puoi vedere in realtà è simmetrico: