Qual è il significato del limite di una funzione?

Risposta:

La dichiarazione #lim_ (x a) f (x) = L # significa: come #X# si avvicina a #un#, #f (x) # si avvicina a # L #.

Spiegazione:

La definizione precisa è:

Per qualsiasi numero reale #ε>0#, esiste un altro numero reale #δ>0# tale che se # 0 <| x-a |<>, poi # | F (x) -L |<>.

Considera la funzione #f (x) = (x ^ 2-1) / (x-1) #.

Se tracciamo il grafico, sembra che questo:

Non possiamo dire quale sia il valore # X = 1 #, ma sembra come se #f (x) # approcci #2# come #X# approcci #1#.

Proviamo a dimostrarlo #lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #.

La domanda è, da dove veniamo # 0 <| x-1 |<> a # | (X ^ 2-1) / (x-1) -2 | <>?

Dobbiamo iniziare con un certo valore di #ε# e quindi trovare un valore corrispondente per trovare #δ#.

Iniziamo con

# | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | = | ((X + 1) (x-1)) / (x-1) -2 | = | x + 1-2 | = | x-1 |<>

L'altra condizione è

# | X-1 | <δ #

La definizione si adatta esattamente se #δ = ε#.

Lo abbiamo appena dimostrato per qualsiasi #ε#, c'è un #δ# così che # | F (x) -2 |<> quando # 0 <| x-1 |<>.

Quindi l'abbiamo dimostrato

#lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #