Domanda n. 35a7e

Risposta:

Come menzionato nei commenti qui sotto, questa è la serie MacLaurin per #f (x) = cos (x) #e sappiamo che questo converge # (- oo, oo) #. Tuttavia, se si desidera vedere il processo:

Spiegazione:

Dal momento che abbiamo un fattoriale nel denominatore, usiamo il test del rapporto, poiché questo semplifica le semplificazioni. Questa formula è:

#lim_ (n-> oo) (a_ (n + 1) / a_n) #

Se questo è <1, la tua serie converge

Se questo è> 1, la tua serie diverge

Se questo è = 1, il test è inconcludente

Quindi, facciamo questo:

#lim_ (K-> oo) abs ((- 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2))) * (- 1) ^ k ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Nota: fai molta attenzione a come connetti il tuo (k + 1). 2k diventerà 2 (k + 1), NON 2k + 1.

Ho moltiplicato per il reciproco di # X ^ (2k) / ((2k)!) # invece di dividere solo per rendere il lavoro un po 'più facile.

Ora, andiamo algebra. A causa del valore assoluto, i nostri termini alternati (ad es. # (- 1) ^ k #) stanno per uscire, poiché avremo sempre una risposta positiva:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Possiamo cancellare il nostro # X ^ (2k) #'S:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) #

Ora dobbiamo cancellare i fattoriali.

Richiama questo # (2k)! = (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1 #

Anche, # (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1 #

Avviso:

# (2k)! = colore (rosso) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1) #

# (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * colore (rosso) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1) #

Come puoi vedere, noi # (2k)! # è essenzialmente una parte di # (2k + 2)! #. Possiamo usare questo per cancellare ogni termine comune:

# ((2k)!) / ((2k + 2)!) = Cancel (colore (rosso) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1)) / ((2k + 2) * (2k + 1) * cancel (colore (rosso) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1)) #

# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

Questo lascia

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

Ora possiamo valutare questo limite. Nota che non stiamo prendendo questo limite rispetto a #X#, possiamo tenerlo in considerazione:

# => abs (x ^ 2 lim_ (k-> oo) (1 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

# => abs (x ^ 2 * 0) = 0 #

Quindi, come puoi vedere, questo limite = 0, che è inferiore a 1. Ora, ci chiediamo: c'è qualche valore di #X# per cui questo limite sarebbe 1? E la risposta è no, poiché qualsiasi cosa moltiplicata per 0 è 0.

Quindi, da allora #lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k))) <1 # per tutti i valori di #X#, possiamo dire che ha un intervallo di convergenza di # (- oo, oo) #.

Spero che questo abbia aiutato:)