Cos'è 0 alla potenza di 0?

Risposta:

Questo è in realtà una questione di dibattito. Alcuni matematici dicono #0^0 = 1# e altri dicono che non è definito.

Spiegazione:

Vedi la discussione su Wikipedia:

Esponenziazione: zero alla potenza di zero

Personalmente mi piace #0^0=1# e funziona la maggior parte del tempo.

Ecco un argomento a favore di #0^0 = 1# …

Per qualsiasi numero #a in RR # le espressioni # A ^ 1 #, # A ^ 2 #, ecc. sono ben definiti:

# a ^ 1 = a #

# a ^ 2 = a xx a #

# a ^ 3 = a xx a xx a #

eccetera.

Per qualsiasi intero positivo, # N #, # A ^ n # è il prodotto di # N # istanze di #un#.

E allora? # A ^ 0 #?

Per analogia, questo è un prodotto vuoto - il prodotto di #0# istanze di #un#. Se definiamo il prodotto vuoto come #1# allora ogni sorta di cose funziona bene. Ha senso come #1# è l'identità moltiplicativa. Se stessimo parlando della somma vuota, allora il valore #0# sarebbe naturale

Se siamo contenti di ciò, che dire #0^0#?

Se è il prodotto vuoto di #0# istanze di #0#, allora lo è #1# pure.

Sfortunatamente, se guardiamo agli esponenti frazionari, otteniamo un comportamento sgradevole.

Tenere conto # (2 ^ -n) ^ (- 1 / n) # per #n = 1, 2, 3, … #

Come #n -> oo #, # 2 ^ -n -> 0 # e # -1 / n -> 0 #

quindi speri # (2 ^ -n) ^ (- 1 / n) -> 0 ^ 0 # come # N-> oo #

ma # (2 ^ -n) ^ (- 1 / n) = 2 # per tutti #n in {1, 2, 3, …} #

Quindi l'esponenziazione si comporta male nel vicinato di #0#