Sara ha usato 34 metri di recinzione per racchiudere una regione rettangolare. Per essere sicuro che la regione fosse un rettangolo, misurò le diagonali e scoprì che erano 13 metri ciascuna. Quali sono la lunghezza e la larghezza del rettangolo?

Risposta:

Lunghezza (L) #= 4# metri

Larghezza (W) #= 13# metri

Spiegazione:

Dato:

Sara ha usato #34# metri di recinzione per racchiudere una regione rettangolare.

Quindi, Perimetro di un rettangolo come mostrato di seguito è #34# metri

Quindi 2x (Lunghezza + Larghezza) = 34 metri

Supponiamo che Lunghezza = L metri e Larghezza = W metri.

Così, # 2 * (L + W) = 34 # metri

Quello che è sotto è un schizzo approssimativo e NON disegnato su scala

Quindi,

AB = CD = L metri

AC = BD = W metri

Ci è stato dato Le diagonali sono lunghe 13 metri

Lo sappiamo, il diagonali di un rettangolo siamo uguale lunghezza;

le diagonali di un rettangolo si intersecano a vicenda

Quello che è sotto è un schizzo approssimativo e NON disegnato su scala

Angolo # / _ ACD # è ad angolo retto

Usando il teorema di Pitagora, possiamo scrivere

# AC ^ 2 + CD ^ 2 = AD ^ 2 #

#rArr W ^ 2 + L ^ 2 = 13 ^ 2 #

#rArr W ^ 2 + L ^ 2 = 169 #

Inserisci # -W ^ 2 # da entrambi i lati per ottenere

#rArr W ^ 2 + L ^ 2 - W ^ 2 = 169 - W ^ 2 #

#rArr cancel (W ^ 2) + L ^ 2 - cancel (W ^ 2) = 169 - W ^ 2 #

#rArr L ^ 2 = 169 - W ^ 2 #

Prendendo radice quadrata su entrambi i lati

#rArr sqrt (L ^ 2) = sqrt (169 - W ^ 2) #

#rArr L = + - sqrt (13 ^ 2 -W ^ 2) #

Consideriamo solo valori positivi

#rArr L = sqrt (13 ^ 2) -sqrt (W ^ 2) #

#rArr L = 13 -W #

Sostituto #color (rosso) (L = {13 -W}) # nel #color (blu) ({W ^ 2 + L ^ 2} = 169) #

#rArr W ^ 2 + (13-W) ^ 2 = 169 #

Usando l'identità #color (verde) ((a-b) ^ 2 - = a ^ 2 - 2ab + b ^ 2) # noi abbiamo

#rArr W ^ 2 + 169 - 26W + W ^ 2 = 169 #

#rArr W ^ 2 + cancel 169 - 26W + W ^ 2 = cancel 169 #

#rArr 2W ^ 2 - 26W = 0 #

#rArr 2W (W -1 3) = 0 #

#rArr W-13 = 0 #

Quindi, #W = 13 #

Quindi, larghezza del rettangolo = #13# metri

Noi abbiamo già

# 2 * (L + W) = 34 # metri

Sostituire il valore di #W = 13 # ottenere

# 2 * (L + 13) = 34 #

#rArr 2L + 26 = 34 #

Inserisci #-26# ad entrambi i lati

#rArr 2L + cancel 26 - cancel 26 = 34 - 26 #

#rArr 2L = 34 - 26 = 8 #

#rArr 2L = 8 #

#L = 8/2 = 4 #

Lunghezza del rettangolo = 4 metri

Sostituire i valori di # L = 4 e W = 13 # nel

# 2 * (L + W) = 34 # metri

per verificare i nostri risultati

Noi abbiamo

#2*(4 + 13) = 34# metri

#rArr 34 = 34 #

Quindi, il nostro rettangolo ha

Lunghezza (L) #= 4# metri

Larghezza (W) #= 13# metri