Come usi la serie binomiale per espandere sqrt (z ^ 2-1)?

Risposta:

#sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #

Spiegazione:

Mi piacerebbe un doppio controllo perché come studente di fisica raramente vado oltre # (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx # per x piccola quindi sono un po 'arrugginito. La serie binomiale è un caso specializzato del teorema binomiale che lo afferma

# (1 + x) ^ n = somma_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k #

Con # ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) … (n-k + 1)) / (k!) #

Quello che abbiamo è # (Z ^ 2-1) ^ (1/2) #, questa non è la forma corretta. Per rettificare questo, ricordalo # i ^ 2 = -1 # quindi abbiamo:

# (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) #

Questo è ora nella forma corretta con #x = -z ^ 2 #

Pertanto, l'espansione sarà:

#i 1 -1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +… #

#i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #