Come usi il Teorema Binomiale per espandere (x + 1) ^ 4?

Risposta:

# X ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 1 #

Spiegazione:

Il teorema binomiale afferma:

# (a + b) ^ 4 = a ^ 4 + 4a ^ 3b + 6a ^ 2b ^ 2 + 4ab ^ 3 + b ^ 4 #

Ecco, # a = x eb = 1 #

Noi abbiamo:

# (x + 1) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3 (1) + 6x ^ 2 (1) ^ 2 + 4x (1) ^ 3 + (1) ^ 4 #

# (x + 1) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 1 #

Risposta:

# 1 + 4x + 6x ^ 2 + 4x ^ 3 + x ^ 4 #

Spiegazione:

L'espansione binomiale è data da:

# (A + bx) ^ n = sum_ (r = 0) ^ n (n!) / (R! (N-r)!) A ^ (n-r) (BX) ^ r #

Quindi per # (1 + x) ^ 4 # noi abbiamo:

# (4!) / (0! (4-0)!) 1 ^ (4-0) x ^ 0 + (4!) / (1! (4-1)!) 1 ^ (4-1) x ^ 1 + (4!) / (2! (4-2)) 1 ^ (4-2) x ^ 2 + (4!) / (3! (4-3)) 1 ^ (4-3) x ^ 3 + (4!) / (4! (4-4)!) 1 ^ (4-4) x ^ 4 #

# 1 + 4x + 6x ^ 2 + 4x ^ 3 + x ^ 4 #

Come usi la serie binomiale per espandere (5 + x) ^ 4?

(5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4 L'espansione della serie binomiale per (a + bx) ^ n, ninZZ; n> 0 è data da: (a + bx) ^ n = sum_ (r = 0) ^ n ((n!) / (r! (n-1)!) a ^ (nr) (bx) ^ r) Quindi, abbiamo: (5 + x) ^ 4 = (4!) / (0 * 4!) 5 ^ 4 + (4!) / (1 * 3!) (5) ^ 3x + (4!) / (2 * 2!) (5) ^ 2x ^ 2 + (4!) / (4! * 1!) (5) x ^ 3 + (4!) / (4! * 0!) X ^ 4 (5 + x) ^ 4 = 5 ^ 4 + 4 (5) ^ 3x + 6 (5) ^ 2x ^ 2 + 4 (5) x ^ 3 + x ^ 4 (5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4

Come usi la serie binomiale per espandere sqrt (1 + x)?

Sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = sum (1 // 2) _k / (k!) x ^ k con x in CC Usa la generalizzazione della formula binomiale in numeri complessi. C'è una generalizzazione della formula binomiale ai numeri complessi. La formula generale della serie binomiale sembra essere (1 + z) ^ r = somma ((r) _k) / (k!) Z ^ k con (r) _k = r (r-1) (r-2) .. . (r-k + 1) (secondo Wikipedia). Applichiamo alla tua espressione. Questa è una serie di potenze così ovviamente, se vogliamo avere delle probabilità che questo non diverga, abbiamo bisogno di impostare absx <1 e questo è come espandere sqrt (1 + x) con la

Come usi il Teorema Binomiale per espandere (x-5) ^ 5?

(-5 + x) ^ 5 = -3125 + 3125x -1250x ^ 2 + 250x ^ 3-25x ^ 4 + x ^ 5 (a + bx) ^ n = sum_ (r = 0) ^ n ((n), (r)) a ^ (nr) (bx) ^ r = sum_ (r = 0) ^ n (n!) / (r! (nr)!) a ^ (nr) (bx) ^ r (-5+ x) ^ 5 = sum_ (r = 0) ^ 5 (5!) / (r! (5-r)!) (- 5) ^ (5-r) x ^ r (-5 + x) ^ 5 = (5!) / (0 (5-0)!!) (- 5) ^ (5-0) x ^ 0 + (5!) / (1 (5-1)!!) (- 5) ^ ( 5-1) x ^ 1 + (5) / (2 (5-2!!))! (-!! 5) ^ (5-2) x ^ 2 + (5) / (3 (5-3) !) (- 5) ^ (5-3) x ^ 3 + (5) / (4 (5-4!!)) (-!! 5) ^ (5-4) x ^ 4 + (5) / (5! (5-5)!) (- 5) ^ (5-5) x ^ 5 (-5 + x) ^ 5 = (5!) / (0! 5!) (- 5) ^ 5 + (5!) / (1 4!!) (- 5) ^ 4x + (5!) / (2 3!!) (- 5) ^ 3x ^ 2 + (5!) / ((3 2!!