Domanda n. 31a2b

Risposta:

Utilizzare la regola di inversione del potere per l'integrazione # 4x-x ^ 2 # a partire dal #0# a #4#, per finire con un'area di #32/3# unità.

Spiegazione:

L'integrazione viene utilizzata per trovare l'area tra una curva e il #X#- o # Y #-axis, e la regione ombreggiata qui è esattamente quell'area (tra la curva e il #X#-assieme, in particolare). Quindi tutto ciò che dobbiamo fare è integrare # 4x-x ^ 2 #.

Abbiamo anche bisogno di capire i limiti dell'integrazione. Dal tuo diagramma, vedo che i limiti sono gli zeri della funzione # 4x-x ^ 2 #; tuttavia, dobbiamo trovare valori numerici per questi zeri, che possiamo realizzare con il factoring # 4x-x ^ 2 # e impostandolo uguale a zero:

# 4x-x ^ 2 = 0 #

#x (4-x) = 0 #

# X = 0 ##color (bianco) (XX) andcolor (bianco) (XX) ## X = 4 #

Quindi integreremo # 4x-x ^ 2 # a partire dal #0# a #4#:

# int_0 ^ 4 4x-x ^ 2dx #

# = 2x ^ 2x ^ 3/3 _0 ^ 4 -> # usando la regola del potere inverso (# IntX ^ NDX = (x ^ (n + 1)) / (n + 1) #)

#=((2(4)^2-(4)^3/3)-(2(0)^2-(0)^3/3))#

#=((32-64/3)-(0))#

#=32/3~~10.67#