Come trovi il limite di [(sin x) * (sin ^ 2 x)] / [1 - (cos x)] quando x si avvicina a 0?

Risposta:

Esegui qualche moltiplicazione coniugata e semplifica l'acquisizione #lim_ (X-> 0) (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) = 0 #

Spiegazione:

La sostituzione diretta produce una forma indeterminata #0/0#, quindi dovremo provare qualcos'altro.

Prova a moltiplicare # (Sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) # di # (1 + cosx) / (1 + cosx) #:

# (Sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) #

# = (Sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (Sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) #

Questa tecnica è conosciuta come moltiplicazione coniugata e funziona quasi ogni volta. L'idea è di usare la differenza di proprietà dei quadrati # (A-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 # per semplificare il numeratore o il denominatore (in questo caso il denominatore).

Richiama questo # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, o # Sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Possiamo quindi sostituire il denominatore, che è # 1-cos ^ 2x #, con # Peccato ^ 2x #:

# ((Sinx) (sin ^ 2x) (1 + cosx)) / (sin ^ 2x) #

Ora il # Peccato ^ 2x # annulla:

# ((Sinx) (annullare (sin ^ 2x)) (1 + cosx)) / (annulla (sin ^ 2x)) #

# = (Sinx) (1 + cosx) #

Finisci prendendo il limite di questa espressione:

#lim_ (X-> 0) (sinx) (1 + cosx) #

# = Lim_ (X-> 0) (sinx) lim_ (X-> 0) (1 + cosx) #

#=(0)(2)#

#=0#