Come trovi la derivata di tan (x - y) = x?

Risposta:

# (Dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #

Spiegazione:

Suppongo che tu voglia trovare # (Dy) / (dx) #. Per questo abbiamo prima bisogno di un'espressione per # Y # in termini di #X#. Notiamo che questo problema ha varie soluzioni, dal momento che #tan (x) # è una funzione periodica, #tan (x-y) = x # avrà più soluzioni. Tuttavia, poiché conosciamo il periodo della funzione tangente (#pi#), possiamo fare quanto segue: # x-y = tan ^ (- 1) x + NPI #, dove #tan ^ (- 1) # è la funzione inversa della tangente che dà valori tra # -PI / 2 # e # Pi / 2 # e il fattore # # NPI è stato aggiunto per tenere conto della periodicità della tangente.

Questo ci dà # Y = x-tan ^ (- 1) x-NPI #, perciò # (Dy) / (dx) = 1-d / (dx) tan ^ (- 1) x #, nota che il fattore # # NPI è scomparso. Ora dobbiamo trovare # D / (dx) tan ^ (- 1) x #. Questo è abbastanza complicato, ma fattibile usando il teorema della funzione inversa.

Ambientazione # U = tan ^ (- 1) x #, noi abbiamo # X = tanu = Sinu / COSU #, così # (Dx) / (du) = (cos ^ 2U + sin ^ 2U) / cos ^ 2U = 1 / cos ^ 2U #, usando la regola del quoziente e alcune identità trigonometriche. Utilizzando il teorema della funzione inversa (che afferma che if # (Dx) / (du) # è continuo e non zero, abbiamo # (Du) / (dx) = 1 / ((dx) / (du)) #), noi abbiamo # (Du) / (dx) = cos ^ 2u #. Ora dobbiamo esprimere # cos ^ 2u # in termini di x.

Per fare ciò, usiamo qualche trigonometria. Dato un triangolo rettangolo con i lati # A, b, c # dove # C # è l'ipotenusa e # A, b # collegato ad angolo retto. Se # U # è l'angolo in cui lato # C # interseca il lato #un#, noi abbiamo # X = tanu = b / a #. Con i simboli # A, b, c # nelle equazioni denotiamo la lunghezza di questi bordi. # COSU = a / c # e usando il teorema di Pitagora, troviamo # C = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = asqrt (1+ (b / a) ^ 2) = asqrt (1 + x ^ 2) #. Questo da # COSU = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #, così # (Du) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) #.

Da # U = tan ^ (- 1) x #, possiamo sostituire questo nella nostra equazione per # (Dy) / (dx) # e trova # (Dy) / (dx) = 1-1 / (1 + x ^ 2) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #.