Quali sono gli asintoti di y = 4 / (x-1) e come grafici la funzione?

Risposta:

Asintoto orizzontale: # Y = 0 #

Asymptote verticale: # X = 1 #

Fare riferimento al grafico di # Y = 1 / x # quando grafico # Y = 4 / (x-1) # potrebbe aiutarti a farti un'idea della forma di questa funzione.

graph {4 / (x-1) -10, 10, -5, 5}

Spiegazione:

asintoti

Trovare la asintoto verticale di questa funzione razionale impostando il suo denominatore su #0# e risolvendo per #X#.

Permettere # x-1 = 0 #

# X = 1 #

Il che significa che c'è un asintoto verticale che passa attraverso il punto #(1,0)#.

* FYI puoi assicurartene # X = 1 # fornisce un asintoto verticale piuttosto che un punto rimovibile di discontinuità valutando l'espressione del numeratore in # X = 1 #. Puoi confermare l'asintoto verticale se il risultato è un valore diverso da zero. Tuttavia, se si finisce con uno zero, è necessario semplificare l'espressione della funzione, rimuovere il fattore in questione, ad esempio # (X-1) #e ripeti quei passaggi. *

Potresti trovare il asintoto orizzontale (a.k.a "end end") valutando #lim_ {x to infty} 4 / (x-1) # e #lim_ {x to -infty} 4 / (x-1) #.

Se non hai ancora imparato i limiti, sarai comunque in grado di trovare l'asintoto inserendo grandi valori di #X# (ad esempio, valutando la funzione a # X = 11 #, # X = 101 #, e # X = 1001 #.) Probabilmente lo troverai come valore di #X# aumentare verso l'infinito positivo, il valore di # Y # avvicinarsi sempre di più a … ma mai raggiunge #0#. Così è il caso di #X# si avvicina all'infinito negativo.

Per definizione, vediamo che la funzione ha un asintoto orizzontale a # Y = 0 #

Grafico

Potresti aver trovato l'espressione di # Y = 1 / x #, il #X#- funzione precipitosa simile a quella di # Y = 4 / (x-1) #. È possibile rappresentare il secondo grafico in base alla conoscenza della forma del primo.

Considera quale combinazione di trasformazioni (come lo stretching e lo spostamento) convertirà la funzione in questione con la quale siamo probabilmente familiari, alla funzione in questione.

Iniziamo convertendo

# Y = 1 / x # a # Y = 1 / (x-1) #

spostando il grafico della prima funzione in destra di #1# unità. Algebricamente, quella trasformazione assomiglia alla sostituzione #X# nella funzione originale con l'espressione # x-1 #.

Alla fine estenderemo la funzione verticalmente # Y = 1 / (x-1) # di un fattore di #4# per ottenere la funzione che stiamo cercando, # Y = 4 / (x-1) #. (Per le funzioni razionali con asintoti orizzontali l'allungamento sposterebbe effettivamente la funzione verso l'esterno).