Sia N il più piccolo numero intero con 378 divisori. Se N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, qual è il valore di {a, b, c, d} in NN?

Risposta:

# (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #

Spiegazione:

Dato un numero # N # con una fattorizzazione primaria #n = p_1 ^ (alpha_1) p_2 ^ (alpha_2) … p_k ^ (alpha_k) #, ogni divisore di # N # è della forma # P_1 ^ (beta_1) P_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # dove #beta_i in {0, 1, …, alpha_i} #. Come ci sono # Alpha_i + 1 # scelte per ciascuno # # Beta_i, il numero di divisori di # N # è dato da

# (Alpha_1 + 1) (alpha_2 + 1) … (alpha_k + 1) = prod_ (i = 1) ^ k (alpha_i + 1) #

Come # N = 2 ^ axx3 ^ ^ bxx5 cxx7 ^ d #, il numero di divisori di # N # è dato da # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #. Quindi, il nostro obiettivo è trovare # (a, b, c, d) # tale che il prodotto di cui sopra detiene e # 2 ^ axx3 ^ ^ bxx5 cxx7 ^ d # è minimo Mentre stiamo riducendo al minimo, assumeremo da questo punto in poi che #a> = b> = c> = D # (se così non fosse, potremmo scambiare esponenti per ottenere un risultato minore con lo stesso numero di divisori).

Notando questo # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #, possiamo considerare i possibili casi in cui #378# è scritto come un prodotto di quattro numeri interi # k_1, k_2, k_3, k_4 #. Possiamo ispezionarli per vedere quale produce il minor risultato possibile # N #.

Formato: # (k_1, k_2, k_3, k_4) => (a, b, c, d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2, 3, 3 ^ 2, 7) => (8, 6, 2, 1) => ~ 3.3xx10 ^ 7 #

# (2, 3, 3, 3 * 7) => (20, 2, 2, 1) => ~ 1.7xx10 ^ 9 #

#color (rosso) ((3, 3, 2 * 3, 7) => (6, 5, 2, 2) => ~ 1.9xx10 ^ 7) #

# (3, 3, 3, 2 * 7) => (13, 2, 2, 2) => ~ 9.0xx10 ^ 7 #

# (1, 3, 2 * 3 ^ 2, 7) => (17, 6, 2, 0) => ~ 2.4xx10 ^ 9 #

Possiamo fermarci qui, come ogni altro caso ne avrà #k_i> = 27 #, dando # 2 ^ a> = 2 ^ 26 ~~ 6.7xx10 ^ 7 #, che è già maggiore del nostro caso migliore.

Con il lavoro di cui sopra, quindi, il # (a, b, c, d) # che produce un minimo # N # con #378# divisori è # (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #, dando #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #