Sia p una matrice non singolare 1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 + cdots + p ^ n = O (O denota la matrice nulla), quindi p ^ -1 è?

Risposta:

La risposta è # = - (I + p + ……… p ^ (n-1)) #

Spiegazione:

Lo sappiamo

# P ^ -1P = I #

# I + p + p ^ 2 + p ^ 3 ….. p ^ n = O #

Moltiplicare entrambi i lati per # P ^ -1 #

# P ^ -1 * (1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 ….. p ^ n) = p ^ -1 * O #

# P ^ -1 * 1 + p ^ -1 * p + p ^ -1 * p ^ 2 + …… p ^ -1 * p ^ n = O #

# P ^ -1 + (p ^ -1P) + (p ^ -1 * p * p) + ……… (p ^ -1P * p ^ (n-1)) = O #

# P ^ -1 + (I) + (I * p) + ……… (I * p ^ (n-1)) = O #

Perciò, # P ^ -1 = - (I + p + ……… p ^ (n-1)) #

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

#p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1)) = 0 # ma # P # per ipotesi non è singolare allora esiste # P ^ -1 # così

# p ^ -1 p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1)) = p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1) = 0 #

e infine

# p ^ - 1 = - sum_ (k = 1) ^ (n-1) p ^ k #

Inoltre può essere risolto come

# p ^ -1 = -p (somma_ (k = 0) ^ (n-2) p ^ k) = p (p ^ (n-1) + p ^ n) = p ^ n (1-p) #