Il resto quando x ^ (2011) è diviso per x ^ 2 -3x + 2 è?

Risposta:

# ((2 ^ 2011 - 1) x - (2 ^ 2011 - 2)) / (x ^ 2 - 3x + 2) #

Spiegazione:

Un modo semi-facile per vedere questo è iniziare a dividere l'espressione usando Long Division. Scrivi il dividendo (sotto il simbolo di divisione) con gli zeri come

# x ^ 2011 + 0x ^ 2010 + 0x ^ 2009 + 0x ^ 2008 + …. 0 #

Non avremo bisogno di tutti i termini per notare lo schema.

Quando inizi a dividere, osserverai che il primo termine ha un coefficiente di 1, il secondo ha un coefficiente di 3, il terzo ha un coefficiente di 7, quindi 15, quindi 31, ecc.

Questi numeri hanno la forma # 2 ^ m - 1 #.

Il resto apparirà dopo aver diviso l'intera cosa, consistendo nel # 2011 ^ (th) # e # 2012 ^ (th) # termini.

Il primo termine nel quoziente seguirà lo stesso schema, avendo #2^2011-1# come il suo coefficiente. L'ultimo coefficiente è uno in meno di #2^2011-1# -- è #2^2011 - 2#, o #2(2^2010 - 1)#.

Lo stesso schema è vero per ogni divisione della forma

# x ^ m / (x ^ 2 - 3x + 2) #, dove #m> = 3 #.

Potresti anche accorgertene # x ^ 2011 - 1 # è un multiplo di #x - 1 #, che cancellerebbe un fattore nel denominatore.

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

# x ^ 2011 = Q (x) (x-1) (x-2) + a x + b #

dove #Q (x) # è un #2009# grado polinomiale e # (x-1) (x-2) = x ^ 2-3x + 2 #

Ora sappiamo

# 1 ^ 2011 = a + b #

# 2 ^ 2011 = 2a + b #

Risolvere per # A, b # otteniamo

#a = 2 ^ 2011-1, b = 2-2 ^ 2011 # e poi

#r (x) = (2 ^ 2011-1) x + 2-2 ^ 2011 # che è il resto.