Come trovi l'area delimitata dalle curve y = -4sin (x) ey = sin (2x) nell'intervallo chiuso da 0 a pi?

Risposta:

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# Int_0 ^ π | -4sin (x) -sin (2x) | dx #

L'area è: #8#

Spiegazione:

L'area tra due funzioni continue #f (x) # e #G (x) # al di sopra di #x in a, b # è:

# Int_a ^ B | f (x) -g (x) | dx #

Pertanto, dobbiamo trovare quando #f (x)> g (x) #

Lascia che le curve siano le funzioni:

#f (x) = - 4sin (x) #

#G (x) = sin (2x) #

#f (x)> g (x) #

# -4sin (x)> sin (2x) #

Sapendo che #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #

# -4sin (x)> 2sin (x) cos (x) #

Dividi per #2# che è positivo:

# -2sin (x)> sin (x) cos (x) #

Dividi per # # Sinx senza invertire il segno, da allora #sinx> 0 # per ogni #x in (0, π) #

# -2> cos (x) #

Il che è impossibile, dal momento che:

# -1 <= cos (x) <= 1 #

Quindi l'affermazione iniziale non può essere vera. Perciò, #f (x) <= g (x) # per ogni #x in 0, π #

L'integrale è calcolato:

# Int_a ^ B | f (x) -g (x) | dx #

# Int_0 ^ π (g (x) -f (x)) dx #

# Int_0 ^ π (sin (2x) - (- 4sin (x))) dx #

# Int_0 ^ π (sin (2x) + 4sin (x)) dx #

# Int_0 ^ πsin (2x) dx + 4int_0 ^ πsin (x) #

# -1/2 cos (2x) _ ^ 0 π-4 cos (x) _ ^ 0 π #

# -1/2 (cos2π-cos0) -4 (cosπ-cos0) #

#1/2*(1-1)-4*(-1-1)#

#8#