Qual è la proiezione di (i -2j + 3k) su (3i + 2j - 3k)?

Risposta:

#proj_vec v vec u = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #

Spiegazione:

Per rendere più facile il riferimento a loro, chiamiamo il primo vettore #vec u # e il secondo #vec v #. Vogliamo il progetto di #vec u # su #vec v #:

#proj_vec v vec u = ((vec u * vec v) / || vec v || ^ 2) * vec v #

Cioè, a parole, la proiezione del vettore #vec u # sul vettore #vec v # è il prodotto punto dei due vettori, diviso per il quadrato della lunghezza di #vec v # volte il vettore #vec v #. Si noti che il pezzo tra parentesi è uno scalare che ci dice fino a dove si trova la direzione di #vec v # la proiezione raggiunge.

Per prima cosa, troviamo la lunghezza di #vec v #:

# || vec v || = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt22 #

Ma nota che nell'espressione ciò che realmente vogliamo è # || vec v || ^ 2 #, quindi se abbiamo quadrato entrambi i lati otteniamo solo #22#.

Ora abbiamo bisogno del prodotto punto di #vec u # e #vec v #:

#vec u * vec v = (1xx3 + (- 2) xx2 + 3xx (-3)) = (3-4-9) = (-10) #

(per trovare il prodotto punto moltiplichiamo i coefficienti di #i, j e k # e aggiungili)

Ora abbiamo tutto ciò di cui abbiamo bisogno:

#proj_vec v vec u = ((vec u * vec v) / || vec v || ^ 2) * vec v = (-10/22) (3i + 2j-3k) #

# = (- 30 / 22i-20 / 22j + 30 / 22k) = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #