Come si verifica la seguente identità?

Risposta:

Usa alcune identità trigonometriche e molta semplificazione. Vedi sotto.

Spiegazione:

Quando si tratta di cose come # # Cos3x, aiuta a semplificare le funzioni trigonometriche di un'unità #X#; cioè qualcosa di simile # # Cosx o # cos ^ 3x #. Possiamo usare la regola della somma per il coseno per ottenere ciò:

#cos (alfa + beta) = cosalphacosbeta-sinalphasinbeta #

Quindi, da allora # Cos3x = cos (2x + x) #, noi abbiamo:

#cos (2x + x) = cos2xcosx-sin2xsinx #

# = (Cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx) #

Ora possiamo sostituire # # Cos3x con l'espressione sopra:

# (Cos3x) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

# ((Cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Possiamo dividere questa frazione più grande in due frazioni più piccole:

# ((Cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx)) / cosx - ((2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Nota come annullano i coseni:

# ((Cos ^ 2x-sin ^ 2x) annullare (cosx)) / annullare (cosx) - ((2sinxcancel (cosx)) (sinx)) / cancelcosx = 1-4sin ^ 2x #

# -> cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Ora aggiungi un # Sin ^ 2x-sin ^ 2x # nella parte sinistra dell'equazione (che è la stessa cosa dell'aggiunta #0#). Il ragionamento alla base di ciò diventerà chiaro in un minuto:

# cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x + (sin ^ 2x-sin ^ 2x) = 2x ^ 1-4sin #

Riorganizzare i termini:

# cos ^ 2x + sin ^ 2x- (sin ^ 2x + sin ^ 2x + 2sin ^ 2x) = 2x ^ 1-4sin #

Usa l'identità pitagorica # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # e combinare il # Peccato ^ 2x #s tra parentesi:

# 1- (4sin ^ 2x) = 2x ^ 1-4sin #

Puoi vedere che il nostro piccolo trucco di aggiungere # Sin ^ 2x-sin ^ 2x # ci ha permesso di usare l'Identità Pitagorica e raccogliere il # Peccato ^ 2x # termini.

E voilà:

# 1-4sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Come volevasi dimostrare