La quarta potenza della differenza comune di una progressione aritmetica è costituita da voci intere aggiunte al prodotto di quattro suoi termini consecutivi. Dimostra che la somma risultante è il quadrato di un intero?

Lascia che sia la differenza comune di un AP di interi # # 2d.

Qualsiasi quattro termini consecutivi della progressione può essere rappresentato come # a-3d, a-d, a + d e a + 3d #, dove #un# è un numero intero

Quindi la somma dei prodotti di questi quattro termini e della quarta potenza della differenza comune # (2d) ^ 4 # sarà

# = colore (blu) ((a-3d) (a-d) (a + d) (a + 3d)) + colore (rosso) ((2d) ^ 4) #

# = Colore (blu) ((a ^ 2-9d ^ 2) (a ^ 2-d ^ 2)) + colore (rosso) (16 quinquies ^ 4) #

# = Colore (blu) ((a ^ ^ 4-10d 2a ^ 2 + 9d ^ 4) + colore (rosso) (16 quinquies ^ 4) #

# = Colore (verde) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 25d ^ 4) #

# = Colore (verde) ((a ^ 2-5d ^ 2) ^ 2 #, che è un quadrato perfetto.

I termini 2, 6 e 8 di una progressione aritmetica sono tre termini successivi di un Geometric.P. Come trovare il rapporto comune di G.P e ottenere un'espressione per l'ennesimo periodo del G.P?

Il mio metodo lo risolve! Total rewrite r = 1/2 "" => "" a_n = a_1 (1/2) ^ (n-1) Per fare la differenza tra le due sequenze, sto usando la seguente notazione: a_2 = a_1 + d "" -> "" tr ^ 0 "" ............... Eqn (1) a_6 = a_1 + 5d "" -> "" tr "" ........ ........ Eqn (2) a_8 = a_1 + 7d "" -> "" tr ^ 2 "" ............... Eqn (3) ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Eqn (2) -Eqn (1) a_1 + 5d = tr ul (a_1 + colore (bianco) (5) d = t larr "Sottrai" "" 4d = tr-t -> t (r-1) &quo

Il rapporto comune di una progressione ggeometrica è r il primo termine della progressione è (r ^ 2-3r + 2) e la somma di infinito è S Mostra che S = 2-r (I have) Trova l'insieme di possibili valori che S può prendere?

S = a / {1-r} = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r Dato che | r | <1 otteniamo 1 <S <3 # Abbiamo S = sum_ {k = 0} ^ {infty} (r ^ 2-3r + 2) r ^ k La somma generale di una serie geometrica infinita è sum_ {k = 0} ^ {infty} ar ^ k = a / {1-r} Nel nostro caso, S = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2 )} / {1-r} = 2-r Le serie geometriche convergono solo quando | r | <1, quindi otteniamo 1 <S <3 #

La lunghezza di ciascun lato del quadrato A viene aumentata del 100% per formare il quadrato B. Quindi ogni lato del quadrato viene aumentato del 50% per creare il quadrato C. Di quale percentuale è l'area del quadrato C maggiore della somma delle aree di quadrato A e B?

L'area di C è maggiore dell'80% dell'area dell'area A + di B Definisce come unità di misura la lunghezza di un lato di A. Area di A = 1 ^ 2 = 1 sq.unit Lunghezza dei lati di B è 100% in più della lunghezza dei lati di A rarr Lunghezza dei lati di B = 2 unità Area di B = 2 ^ 2 = 4 sq.units. Lunghezza dei lati di C è 50% in più della lunghezza dei lati di B rarr Lunghezza dei lati di C = 3 unità Area di C = 3 ^ 2 = 9 sq.units Area di C è 9- (1 + 4) = 4 sq.units maggiore delle aree combinate di A e B. 4 sq.units rappresenta 4 / (1 + 4) = 4/5 dell'area combinata