Cosa è int_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx?

Risposta:

# 1023/5 - (225 - sqrt3) / 4 + arctan (sqrt3) #

Spiegazione:

Questa spiegazione è un po 'lunga, ma non ho trovato un modo più veloce per farlo …

L'integrale è un'applicazione lineare, quindi puoi dividere la funzione sotto il segno integrale.

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2)) dx # = # int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

I primi due termini sono funzioni polinomiali, quindi sono facili da integrare. Ti mostro come farlo con # X ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5/5 # così # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5 #. Fai la stessa identica cosa per # X ^ 3 #, il risultato è #255/4#.

scoperta #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx # è un po 'lungo e complicato Innanzitutto moltiplichi la frazione di #sqrt (x-1) / sqrt (x-1) # e poi cambi la variabile: diciamo #u = sqrt (x-1) #. Così # Du = 1 / (2sqrt (x-1)) dx # e tu ora devi trovare # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du #. Per trovarlo, hai bisogno della decomposizione a frazione parziale della funzione razionale # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

# x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (ax + b) / (x ^ 2 +1) + (cx + d) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # con # a, b, c, d in RR #. Dopo il calcolo, lo scopriamo # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 +1) - 1 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #, che significa che # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (int (du) / (u ^ 2 + 1) - int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2) #

#int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2 # è noto, lo è #arctan (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

Finalmente, # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (arctan (u) - arctan (u) / 2 - u / (2 (1 + u ^ 2))) = arctan (u) - u / (1 + u ^ 2) #

Tu sostituisci # U # dalla sua espressione originale con #X# avere #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx #, che è #arctan (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

Quindi alla fine # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 / 4 #