Qual è la pendenza della retta tangente di r = (sin ^ 2theta) / (- thetacos ^ 2theta) a theta = (pi) / 4?

Risposta:

La pendenza è #m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #

Spiegazione:

Ecco un riferimento a Tangenti con coordinate polari

Dal riferimento, otteniamo la seguente equazione:

# dy / dx = ((dr) / (d theta) sin (theta) + rcos (theta)) / ((dr) / (d theta) cos (theta) - rsin (theta)) #

Dobbiamo calcolare # (dr) / (d theta) # ma per favore osservalo #r (theta) # può essere semplificato usando l'identità #sin (x) / cos (x) = tan (x) #:

#r = -tan ^ 2 (theta) / theta #

# (dr) / (d theta) = (g (theta) / (h (theta))) '= (g' (theta) h (theta) - h '(theta) g (theta)) / (h (theta)) ^ 2 #

#g (theta) = -tan ^ 2 (theta) #

#g '(theta) = -2tan (theta) sec ^ 2 (theta) #

#h (theta) = theta #

#h '(theta) = 1 #

# (dr) / (d theta) = (-2thetatan (theta) sec ^ 2 (theta) + tan ^ 2 (theta)) / (theta) ^ 2 #

Valutiamo quanto sopra a # Pi / 4 #

# sec ^ 2 (pi / 4) = 2 #

#tan (pi / 4) = 1 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) / (pi / 4) ^ 2 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) (16 / (pi ^ 2)) #

#r '(pi / 4) = (16-16pi) / (pi ^ 2) #

Valutare r a # Pi / 4 #:

#r (pi / 4) = -4 / pi = - (4pi) / pi ^ 2 #

Nota: ho fatto il suddetto denominatore # Pi ^ 2 # in modo che fosse comune con il denominatore di # R '# e, quindi, annulleremo quando li inseriremo nella seguente equazione:

# dy / dx = ((dr) / (d theta) sin (theta) + rcos (theta)) / ((dr) / (d theta) cos (theta) - rsin (theta)) #

A # Pi / 4 # i seni e i coseni sono uguali, quindi annulleranno.

Siamo pronti a scrivere un'equazione per la pendenza, m:

#m = (16 - 16pi + -4pi) / (16 - 16pi - -4pi) #

#m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #