Quali sono le soluzioni a (z-1) ^ 3 = 8i?

Risposta:

#z in {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

Spiegazione:

Per questo problema, avremo bisogno di sapere come trovare il # N ^ "th" # radici di un numero complesso. Per fare questo, useremo l'identità

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

A causa di questa identità, possiamo rappresentare qualsiasi numero complesso come

# a + bi = Re ^ (itheta) # dove #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # e #theta = arctan (b / a) #

Ora andremo oltre i passaggi per trovare il # 3 ^ "rd" # radici di un numero complesso # A + bi #. I passaggi per trovare il # N ^ "th" # le radici sono simili.

Dato # a + bi = Re ^ (itheta) # stiamo cercando tutti i numeri complessi # Z # così

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

Come # Z # è un numero complesso, esiste # # R_0 e # # Theta_0 così

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

Poi

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

Da questo, abbiamo immediatamente # R_0 = R ^ (1/3) #. Possiamo anche equiparare gli esponenti di # E #, ma notando che come seno e coseno sono periodici con periodo # # 2pi, quindi dall'identità originale, # E ^ (itheta) # lo sarà anche Poi abbiamo

# 3itheta_0 = i (theta + 2pik) # dove #k in ZZ #

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # dove #k in ZZ #

Tuttavia, come se continuassimo ad aggiungere # # 2pi ripetutamente, finiremo con gli stessi valori, possiamo ignorare i valori ridondanti aggiungendo la restrizione # theta_0 in 0, 2pi) #, questo è, #k in {0, 1, 2} #

Mettendo tutto insieme, otteniamo la soluzione

#z in {R ^ (1/3) e ^ (itheta / 3), R ^ (1/3) e ^ (i ((theta + 2pi)) / 3), R ^ (1/3) e ^ (i (+ 4Pi theta) / 3)} #

Possiamo convertire questo in # A + bi # modulo se desiderato utilizzando l'identità

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Applicando quanto sopra al problema in questione:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

Utilizzando il processo sopra, possiamo trovare il # 3 ^ "rd" # radici di #io#:

#i = e ^ (ipi / 2) => i ^ (1/3) in {e ^ (ipi / 6), e ^ (i (5pi) / 6), e ^ (i (3pi) / 2) } #

applicando # e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) # noi abbiamo

# i ^ (1/3) in {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} #

Infine, sostituiamo questi valori per #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

#z in {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1} #

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #