Come si converte r = 1 / (4 - costheta) in forma cartesiana?

Risposta:

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Spiegazione:

Ehi, Socratic: è davvero necessario dirci che è stato chiesto 9 minuti fa? Non mi piace mentire. Dicci che è stato chiesto due anni fa e nessuno è stato ancora in grado di farlo. Inoltre, cosa succede alle domande formulate in modo sospettosamente identico poste da più postazioni? Per non parlare di Santa Cruz, negli Stati Uniti? Ce ne sono quasi sicuramente più di uno, anche se sento bene quello in California. Credibilità e reputazione sono importanti, specialmente in un sito di compiti a casa. Non fuorviare le persone. Fine rant.

Quando si convertono le equazioni dalle coordinate polari a quelle rettangolari, la forza bruta sostituisce la polarità con la polare

#r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

#theta = text {arctan2} (y "/," x) quad #

raramente è l'approccio migliore. (Sto intenzionalmente indicando la tangente inversa quadrupla qui, ma non veniamo distolti.)

Idealmente vogliamo usare le sostituzioni polari a rettangolari, #x = r cos theta #

# y = r sin theta #

# x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta = r ^ 2 #

OK diamo un'occhiata alla domanda.

# r = 1 / {4 - cos theta} #

Queste equazioni polari generalmente consentono di negare # R #ma qui siamo sicuri # R # è sempre positivo

#r (4 - cos theta) = 1 #

Queste penso che siano ellissi, il che non ha molta importanza, ma ci dà un'idea di cosa speriamo che la forma rettangolare assomigli. Vogliamo mirare a qualcosa senza radici quadrate o arcanguti # R = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} # ha radici quadrate, ma #rcos theta = x # no, quindi ci espandiamo.

# 4r - rcos theta = 1 #

Ora ci sostituiamo; lo faremo a passi.

# 4r -x = 1 #

# 4r = x + 1 #

Facciamo quadrato ora. Sappiamo #r> 0. #

# 16 r ^ 2 = (x + 1) ^ 2 #

# 16 (x ^ 2 + y ^ 2) = (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 #

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Questa è un'ellisse dall'aspetto piuttosto circolare. (Una costante più piccola di #4# nell'originale darebbe un'ellisse più eccentrica.) Potremmo completare il quadrato per metterlo in una forma standard, ma lasciamolo qui.