Come si converte r = 2 sin theta in forma cartesiana?

Risposta:

Usa alcune formule e fai qualche semplificazione. Vedi sotto.

Spiegazione:

Quando si tratta di trasformazioni tra coordinate polari e cartesiane, ricordare sempre queste formule:

• # x = rcostheta #
• # Y = rsintheta #
• # R ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 #

A partire dal # Y = rsintheta #, possiamo vedere che dividendo entrambi i lati # R # ci da # Y / r = sintheta #. Possiamo quindi sostituire # # Sintheta nel # R = 2sintheta # con # Y / r #:

# R = 2sintheta #

# -> r = 2 (a / r) #

# -> R ^ 2 = 2y #

Possiamo anche sostituire # R ^ 2 # con # X ^ 2 + y ^ 2 #, perché # R ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 #:

# R ^ 2 = 2y #

# -> x ^ 2 + y ^ 2 = 2y #

Potremmo lasciarlo, ma se sei interessato …

Ulteriore semplificazione

Se sottraiamo # 2y # da entrambe le parti finiamo con questo:

# X ^ 2 + y ^ 2-2y = 0 #

Nota che possiamo completare il quadrato # Y ^ 2-2y #:

# X ^ 2 + (y ^ 2-2y) = 0 #

# -> x ^ 2 + (y ^ 2-2y + 1) = 0 + 1 #

# -> x ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 1 #

E che ne dici? Finiamo con l'equazione di un cerchio con centro # (H, k) -> (0,1) # e raggio #1#. Conosciamo le equazioni polari della forma # Y = asintheta # forma cerchi, e l'abbiamo appena confermato usando le coordinate cartesiane.