Domanda n. 92256

Risposta:

Vedi la spiegazione

Spiegazione:

Spezza questo in due parti, in primo luogo la parte interna:

# E ^ x #

Questo è positivo e crescente per tutti i numeri reali e va da 0 a # Oo # come #X# va da # # -Oo a # Oo #

Abbiamo:

#arctan (u) #

Ha un asintoto orizzontale giusto a # Y = pi / 2 #. Andando da # u = 0 rarr oo #, a # U = 0 # questa funzione è positiva e crescente su questo dominio, assume un valore di 0 a # U = 0 #, un valore di # Pi / 4 # a # U = 1 # e un valore di # Pi / 2 # a # U = oo #.

Questi punti quindi vengono trascinati # X = -oo, 0, oo # rispettivamente e finiamo con un grafico simile a questo come risultato:

graph {arctan (e ^ x) -10, 10, -1.5, 3}

Qual è la parte positiva del # # Arctan la funzione si estende sull'intera linea reale con il valore di sinistra che viene allungato in un asintoto orizzontale a # Y = 0 #.

Risposta:

Vedi la spiegazione

Spiegazione:

Dominio è # RR #

Simmetria

Né rispetto al #X# asse né w.r.t l'origine.

#arctan (e ^ (- x)) # non semplifica a #arctan (e ^ x) #

né a # -Arctan (e ^ x) #

intercetta

#X# intercetta: nessuno

Non possiamo ottenere #y = 0 # perché ciò richiederebbe # e ^ x = 0 #

Ma # E ^ x # non è mai #0#, si avvicina solo #0# come # Xrarr-oo #.

Così, # # Yrarr0 come # Xrarr-oo # e il #X# asse os un orizzontale

asintoto a sinistra.

# Y # intercettare: # Pi / 4 #

quando # X = 0 #, noi abbiamo #y = arctan (1) = pi / 4 #

asintoti:

Verticale: nessuno

# # Arctan è tra # -PI / 2 # e # Pi / 2 # per definizione, quindi non va mai # Oo #

Orizzontale:

Sinistra: # Y = 0 # come discusso sopra

Destra: # Y = pi / 2 #

Lo sappiamo, come # Thetararrpi / 2 # con #theta <pi / 2 #, noi abbiamo #tantheta rarr oo #

così come # # Xrarroo, noi abbiamo # e ^ x rarroo #, così # y = arctan (e ^ x) rarr pi / 2 #

Prima derivata

#y '= e ^ x / (1 + e ^ (2x)) # non è mai #0# e mai indefinito, quindi non ci sono numeri critici.

Per ogni #X# noi abbiamo #y '> 0 # quindi la funzione è in aumento # (- oo, oo) #

Non ci sono estremi locali.

Seconda derivata

#y '' = (e ^ x (1 + e ^ (2x)) - e ^ x (2e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x + e ^ (3x) -2e ^ (3x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (E ^ x (1-e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

#y '' # non è mai indefinito, e lo è #0# a # X = 0 #

Segno di #y '' #:

Sopra # (- oo, 0) #, noi abbiamo # e ^ (2x) <1 # così #y ''> 0 # e il grafico è concavo

Sopra # (0, oo) #, noi abbiamo # e ^ (2x)> 1 # così #y '' <0 # e il grafico è concavo verso il basso

La concavità cambia a # X = 0 #, quindi il punto di flesso è:

# (0, pi / 4) #

Ora traccia il grafico