Dimostra che il numero sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) non è razionale per qualsiasi numero naturale n maggiore di 1?

Risposta:

Vedi spiegazione …

Spiegazione:

Supponiamo che:

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n))) # è razionale

Quindi il suo quadrato deve essere razionale, cioè:

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

e quindi lo è anche:

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n))) #

Possiamo ripetutamente quadrare e sottrarre per scoprire che il seguente deve essere razionale:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):} #

Quindi # N = k ^ 2 # per un numero intero positivo #k> 1 # e:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

Nota che:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

Quindi # K ^ 2 + k-1 # non è il quadrato di un intero sia e #sqrt (k ^ 2 + k-1) # è irrazionale, contraddicendo la nostra affermazione #sqrt (n-1 + sqrt (n)) # è razionale.

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

assumendo

#sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + sqrt (n))) = p / q # con # P / q # non riducibile che abbiamo

#sqrtn = (cdots (((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1)) = P / Q #

che è un assurdo, perché in base a questo risultato, qualsiasi radice quadrata di un intero positivo è razionale.