Quali sono i valori di r (con r> 0) per cui la serie converge?

Risposta:

#r <1 / e # è la condizione per la convergenza di #sum_ (n = 1) ^ pavimento ^ ln (n) #

Spiegazione:

Risponderò solo alla parte sulla convergenza, la prima parte è stata esaudita nei commenti. Possiamo usare # R ^ ln (n) = n ^ ln (r) # riscrivere la somma #sum_ (n = 1) ^ pavimento ^ ln (n) # Nella forma

#sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {per} p = -ln (r) #

La serie a destra è la forma della serie per la famosa funzione di Riemann Zeta. È risaputo che questa serie converge quando #p> 1 #. L'utilizzo di questo risultato dà direttamente

# -ln (r)> 1 implica ln (r) <- 1 implica r <e ^ -1 = 1 / e #

Il risultato delle funzioni di Riemann Zeta è molto noto, se ne vuoi uno dall'inizio rispondi, puoi provare il test integrale per la convergenza.