Cos'è f (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx if f (pi / 6) = 1?

Risposta:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2 sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Spiegazione:

Iniziamo dividendo l'integrale in tre:

#int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx + int sin (x) dx = #

# = int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx-cos (x) #

Chiamerò Integrale integrale sinistro 1 e Integrale 2 destro

Integrale 1

Qui abbiamo bisogno di integrazione per parti e un piccolo trucco. La formula per l'integrazione per parti è:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

In questo caso, lo lascerò #f (x) = e ^ x # e #G '(x) = cos (x) #. Lo capiamo

#f '(x) = e ^ x # e #G (x) = sin (x) #.

Questo rende il nostro integrale:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) dx #

Ora possiamo applicare nuovamente l'integrazione per parti, ma questa volta con #G '(x) = sin (x) #:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) - (- e ^ xcos (x) - (- int e ^ xcos (x) dx)) #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) dx #

Ora possiamo aggiungere l'integrale su entrambi i lati, dando:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) #

#int e ^ xcos (x) dx = 1/2 (e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x)) + C = #

# = E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) + C #

Integrale 2

Possiamo prima usare l'identità:

#tan (theta) = sin (theta) / cos (theta) #

Questo da:

#int tan ^ 3 (x) dx = int sin ^ 3 (x) / cos ^ 3 (x) dx = int (sin (x) sin ^ 2 (x)) / cos ^ 3 (x) dx #

Ora possiamo usare l'identità pitagorica:

# Sin ^ 2 (theta) = 1-cos ^ 2 (theta) #

#int (sin (x) (1-cos ^ 2 (x))) / cos ^ 3 (x) dx #

Ora possiamo introdurre una sostituzione u con # U = cos (x) #. Quindi dividiamo per la derivata, # -Sin (x) # integrare rispetto a # U #:

# -int (cancel (sin (x)) (1-cos ^ 2 (x))) / (cancella (sin (x)) cos ^ 3 (x)) du = -int (1-u ^ 2) / u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du = #

# = int 1 / u-1 / u ^ 3 du = ln | u | + 1 / (2u ^ 2) + C = ln | cos (x) | + 1 / (2cos ^ 2 (x)) + C #

Completando l'integrale originale

Ora che conosciamo Integral 1 e Integral 2, possiamo ricollegarli all'integrale originale e semplificare per ottenere la risposta finale:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2 sec ^ 2 (x) -cos (x) + C #

Ora che conosciamo l'antiderivata, possiamo risolvere la costante:

#f (pi / 6) = 1 #

# E ^ (pi / 6) / 2 (sin (pi / 6) + cos (pi / 6)) - ln | cos (pi / 6) | -1 / 2 sec ^ 2 (pi / 6) -cos (PI / 6) + C = 1 #

# -2/3-sqrt (3) / 2 + 1/2 (1/2 + sqrt (3) / 2) e ^ (/ 6 pi) -ln (sqrt (3) / 2) + C = 1 #

# C = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

# C = 5/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Questo dà che la nostra funzione è:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2 sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #