Risposta:
Spiegazione:
Un vettore che è ortogonale (perpendicolare, norma) a un piano contenente due vettori è anche ortogonale ai vettori dati. Possiamo trovare un vettore che è ortogonale a entrambi i vettori dati prendendo il loro prodotto incrociato. Possiamo quindi trovare un vettore unitario nella stessa direzione di quel vettore.
Dato
Per il
#(12*-7)-(14*3)=-84-42=-126#
Per il
#-(8*-7)-(2*14)=--56-28=84#
Per il
#(8*3)-(12*2)=24-24=0#
Il nostro vettore normale è
Ora, per rendere questo un vettore unitario, dividiamo il vettore per la sua grandezza. La grandezza è data da:
# | Vecn | = sqrt ((n_x) ^ 2 + (n_y) ^ 2 + (n_z) ^ 2) #
# | Vecn | = sqrt ((- 126) ^ 2 + (84) ^ 2 + (0) ^ 2) #
# | Vecn | = sqrt (15878 + 7056 + 0) = sqrt (22932) = 42sqrt (13) #
Il vettore unitario viene quindi fornito da:
# VECU = (vecaxxvecb) / (| vecaxxvecb |) #
#vecu = (<-126,84,0>) / (42sqrt (13)) #
# vecu = 1 / (42sqrt (13)) <-126,84> #
o equivalentemente,
# vecu = <-3 / (sqrt (13)), 2 / (sqrt (13)), 0> #
Puoi anche scegliere di razionalizzare il denominatore:
# vecu = <(-3sqrt (13)) / 13, (2sqrt (13)) / 13, 0> #
Qual è il vettore unitario che è ortogonale al piano contenente (i + j - k) e (i - j + k)?
Sappiamo che se vec C = vec A × vec B allora vec C è perpendicolare sia a vec A che a vec B Quindi, ciò di cui abbiamo bisogno è solo trovare il prodotto incrociato dei due vettori dati. Quindi, (hati + hatj-hatk) × (hati-hatj + hatk) = - hatk-hatj-hatk + hati-hatj-i = -2 (hatk + hatj) Quindi, il vettore unitario è (-2 (hatk + hatj)) / (sqrt (2 ^ 2 + 2 ^ 2)) = - (hatk + hatj) / sqrt (2)
Qual è il vettore unitario che è ortogonale al piano contenente <0, 4, 4> e <1, 1, 1>?
La risposta è = <0,1 / sqrt2, -1 / sqrt2> Il vettore che è perpendicolare a 2 altri vettori è dato dal prodotto incrociato. <0,4,4> x <1,1,1> = | (hati, hatj, hatk), (0,4,4), (1,1,1) | = hati (0) -hatj (-4) + hatk (-4) = <0,4, -4> Verifica facendo i punti prodotti <0,4,4>. <0,4, -4> = 0 + 16-16 = 0 <1,1,1>. <0,4, -4> = 0 + 4-4 = 0 Il modulo di <0,4, -4> è = <0,4, - 4> = sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt32 = 4sqrt2 Il vettore unitario si ottiene dividendo il vettore per il modulo = 1 / (4sqrt2) <0,4, -4> = <0,1 / sqrt2, -1 / sqrt2>
Qual è il vettore unitario che è ortogonale al piano contenente (8i + 12j + 14k) e (2i + j + 2k)?
Sono necessari due passaggi: prendere il prodotto incrociato dei due vettori. Normalizza quel vettore risultante per renderlo un vettore unitario (lunghezza 1). Il vettore unitario, quindi, è dato da: (10 / sqrt500i + 12 / sqrt500j-16 / sqrt500k) 1. Il prodotto incrociato è dato da: (8i + 12j + 14k) xx (2i + j + 2k) = (( 12 * 2-14 * 1) i + (14 * 2-8 * 2) j + (8 * 1-12 * 2) k) = (10i + 12j-16k) Per normalizzare un vettore, trovare la sua lunghezza e dividere ogni coefficiente per quella lunghezza. r = sqrt (10 ^ 2 + 12 ^ 2 + (- 16) ^ 2) = sqrt500 ~~ 22.4 Il vettore unitario, quindi, è dato da: (10 / sqrt500i