Qual è la derivata di y = (sinx) ^ x?

Risposta:

# dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Spiegazione:

Usa la differenziazione logaritmica.

#y = (sinx) ^ x #

#lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) # (Usa le proprietà di # Ln #)

Differenzia implicitamente: (usa la regola del prodotto e la catena ruel)

# 1 / a dy / dx = 1ln (sinx) + x 1 / sinx cosx #

Quindi, abbiamo:

# 1 / a dy / dx = ln (sinx) + x cotx #

Risolvere per # Dy / dx # moltiplicando per #y = (sinx) ^ x #, # dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Risposta:

# D / dx (sinx) ^ x = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Spiegazione:

Il modo più semplice per vedere questo sta usando:

# (Sinx) ^ x = e ^ (ln ((sinx) ^ x)) = e ^ (XLN (sinx)) #

Prendendo la derivata di questo dà:

# D / dx (sinx) ^ x = (d / dxxln (sinx)) e ^ (XLN (sinx)) #

# = (Ln (sinx) + xd / dx (ln (sinx))) (sinx) ^ x #

# = (Ln (sinx) + x (D / dxsinx) / sinx) (sinx) ^ x #

# = (Ln (sinx) + xcosx / sinx) (sinx) ^ x #

# = (Ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Ora dobbiamo notare che se # (Sinx) ^ x = 0 #, #ln ((sinx) ^ x) # è indefinito.

Tuttavia, quando analizziamo il comportamento della funzione attorno a #X#Per il quale ciò vale, scopriamo che la funzione si comporta abbastanza bene perché funzioni, perché, se:

# (Sinx) ^ x # approcci 0

poi:

#ln ((sinx) ^ x) # si avvicinerà # # -Oo

così:

# E ^ (ln ((sinx) ^ x)) # si avvicinerà anche a 0

Inoltre, notiamo che se #sinx <0 #, #ln ((sinx) ^ x) # sarà un numero complesso; tuttavia, tutta l'algebra e il calcolo che abbiamo usato funzionano anche nel piano complesso, quindi questo non è un problema.

Risposta:

Più generalmente…

Spiegazione:

# d / dx f (x) ^ g (x) = g (x) / f (x) f '(x) + g' (x) ln (f (x)) f (x) ^ g (x) #