Risposta:
Se un polinomio ha coefficienti reali, allora tutti gli zeri complessi si verificano in coppie di coniugati complessi.
Cioè, se
Spiegazione:
In realtà un teorema simile vale per radici quadrate e polinomi con coefficienti razionali:
Se
Gli zeri di una funzione f (x) sono 3 e 4, mentre gli zeri di una seconda funzione g (x) sono 3 e 7. Quali sono lo zero (s) della funzione y = f (x) / g (x )?
Solo zero di y = f (x) / g (x) è 4. Poiché gli zeri di una funzione f (x) sono 3 e 4, questo significa (x-3) e (x-4) sono fattori di f (x ). Inoltre, gli zeri di una seconda funzione g (x) sono 3 e 7, che significa (x-3) e (x-7) sono fattori di f (x). Ciò significa nella funzione y = f (x) / g (x), sebbene (x-3) debba cancellare il denominatore g (x) = 0 non è definito, quando x = 3. Inoltre, non è definito quando x = 7. Quindi, abbiamo un buco in x = 3. e solo zero di y = f (x) / g (x) è 4.
Qual è il teorema degli zeri razionali? + Esempio
Vedi spiegazione ... Si può affermare il teorema degli zeri razionali: Dato un polinomio in una singola variabile con coefficienti interi: a_n x ^ n + a_ (n-1) x ^ (n-1) + ... + a_0 con a_n ! = 0 e a_0! = 0, tutti gli zeri razionali di quel polinomio sono espressi nella forma p / q per gli interi p, q con pa divisore del termine costante a_0 e qa divisore del coefficiente a_n del termine principale. È interessante notare che questo vale anche se sostituiamo "interi" con l'elemento di qualsiasi dominio integrale. Ad esempio, funziona con gli interi gaussiani - cioè i numeri della forma a + bi do
Se 3x ^ 2-4x + 1 ha zeri alfa e beta, allora quale quadratico ha zeri alfa ^ 2 / beta e beta ^ 2 / alfa?
Trova prima alpha e beta. 3x ^ 2 - 4x + 1 = 0 I fattori del lato sinistro, in modo che abbiamo (3x - 1) (x - 1) = 0. Senza perdita di generalità, le radici sono alpha = 1 e beta = 1/3. alpha ^ 2 / beta = 1 ^ 2 / (1/3) = 3 e (1/3) ^ 2/1 = 1/9. Un polinomio con coefficienti razionali aventi queste radici è f (x) = (x - 3) (x - 1/9) Se desideriamo coefficienti interi, moltiplicare per 9 per ottenere: g (x) = 9 (x - 3) ( x - 1/9) = (x - 3) (9x - 1) Possiamo moltiplicarlo se desideriamo: g (x) = 9x ^ 2 - 28x + 3 NOTA: Più in generale, potremmo scrivere f (x) = (x - alpha ^ 2 / beta) (x - beta ^ 2 / alpha) = x ^ 2